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1Matemáticas II
2º Bachillerato
Capítulo 5: Rectas y Planos
Respuestas a los ejercicios
y problemas propuestos
www.apuntesmareaverde.org.es
Realizados por: AITANA, AITOR, AMALIA, ANDREA, CARMEN, CELIA S, FERNANDO,
IRENE, ISMAEL F, LAURA, NATALIA, OLIVIA, ROSA, ESPERANZA, LIDIA, CELIA P,
ISMAEL C, ENRIQUE, LUCÍA, NEREA, JULIA, JERÓNIMO
IES ATENEA, CIUDAD REAL
Revisor: Luis Carlos Vidal Del Campo
Todas las imágenes han sido creadas con software libre (GeoGebra)
,2 Rectas y Planos
ACTIVIDADES PROPUESTAS
1. Escribe la ecuación vectorial, paramétrica, continua e implícita de la recta que pasa por el punto A
(-1,-4,2) y tiene por vector director v = (-3,-1,5).
Ecuación vectorial: 𝑂𝑃 = 𝑂𝑃0 + 𝑣 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−1, −4,2) + 𝜆(−3, −1,5)
Ecuaciones paramétricas: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−1, −4,2)(−3, −1,5) ;
𝑥 = −1 − 3𝜆
𝑦 = −4 − 𝜆
𝑧 =2+𝜆
Ecuación continua: Despejamos 𝜆
𝑥−1 𝑦+4 𝑧−2 𝑥−1 𝑦+4 𝑧−2
𝜆 = −3 ; 𝜆 = −1 ; 𝜆 = 1 ⇒ −3 = −1 = 1
Ecuaciones implícitas:
𝑥−1 𝑦+4 𝑧−2
= −1 = 1 ⇒ 𝑥 − 3𝑦 − 11 = 0 ; 𝑦+𝑧+2 =0
−3
2. Escribe la ecuación vectorial, paramétrica, continua e implícita de la recta que pasa por el punto
A (4,-3,-2) y tiene por vector director v = (-1,0,6).
Ecuación vectorial: 𝑂𝑃 = 𝑂𝑃0 + 𝑣 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (4, −3, −2) + 𝜆(−1,0,6)
Ecuaciones paramétricas: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (4, −3, −2) + 𝜆(−1,0,6) ⇒
𝑥 = 4−𝜆
𝑦 = −3
𝑧 = −2 + 6𝜆
Ecuación continua: Despejamos 𝜆
𝑥−4 𝑦+3 𝑧+2
𝜆 = −1 = 0 = 6
𝑥−4 𝑧+2 𝑦+3 𝑧+2
Ecuaciones implícitas: ⇒ = ⇒ 6𝑥 − 24 = −𝑧 − 2 ⇒ 6𝑥 + 𝑧 − 22 = 0 ; =
−1 6 0 6
6𝑥 + 𝑧 − 22 = 0
𝑦−3=0
3. Escribe la ecuación vectorial, paramétrica, continua e implícita de la recta que pasa por el punto
A (0,1,0) y tiene por vector director v = (-2,0,0).
Ecuación vectorial: 𝑂𝑃 = 𝑂𝑃0 + 𝑣 ⇒ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,1,0) + 𝜆(−2,0,0)
Ecuaciones paramétricas: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,1,0) + 𝜆(−2,0,0) ⇒
𝑥 = −2𝜆
𝑦=1
𝑧=0
Ecuación continua:
𝑥 𝑦−1 𝑧
= =
−2 0 0
Ecuaciones implícitas:
𝑦=1
𝑧=0
4. Escribe las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos 𝑨(𝟎, 𝟎, 𝟎) y 𝑩(𝟑, −𝟒, 𝟏).
⃗⃗⃗⃗⃗ = (3 − 0, −4 − 0, 1 − 0) = (3, −4, 1)
𝐴𝐵
2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 5: Rectas y Planos. RESPUESTAS IES ATENEA Ciudad Real
Revisor: Luis Carlos Vidal Del Campo
www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Creadas con GeoGebra
, 3 Rectas y Planos
Vectorial: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0, 0, 0) + 𝜆(3, −4, 1)
Paramétricas:
𝑥 = 3𝜆
𝑦 = −4𝜆}
𝑧=𝜆
Continua:
𝑥
𝜆=
3 𝑥 𝑦
𝑦 = =𝑧
𝜆= 3 −4
−4
𝜆=𝑧 }
Implícitas:
𝑥 𝑦
=
3 −4} → −4𝑥 = 3𝑦} → 4𝑥 + 3𝑦 = 0}
𝑥 𝑥 = 3𝑧 𝑥 − 3𝑧 = 0
=𝑧
3
5. Escribe las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos 𝑨(𝟑, −𝟐, 𝟔) y 𝑩(𝟏, −𝟓, 𝟕).
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = (1 − 3, −5 + 2, 7 − 6) = (−2, −3, 1)
Vectorial: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3, −2, 6) + 𝜆(−2, −3, 1)
Paramétricas:
𝑥 = 3 − 2𝜆
𝑦 = −2 − 3𝜆}
𝑧 = 6 + 1𝜆
Continua:
𝑥−3
𝜆=
−2 𝑥−3 𝑦+2
𝑦+2 = =𝑧−6
𝜆= −2 −3
−3
𝜆 = 𝑧 − 6}
Implícitas:
𝑥−3 𝑦+2
=
−2 −3 } → −3𝑥 + 9 = −2𝑦 − 4} → −3𝑥 + 2𝑦 = 13}
𝑥−3 𝑥 − 3 = −2𝑧 + 12 𝑥 + 2𝑧 = 15
=𝑧−6
−2
6. Escribe las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos 𝑨(𝟐, −𝟏, 𝟔) y 𝑩(𝟕, −𝟐, −𝟏).
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = (7 − 2, −2 + 1, −1 − 6) = (5, −1, −7)
Vectorial: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2, −1, 6) + 𝜆(5, −1, −7)
Paramétricas:
𝑥 = 2 + 5𝜆
𝑦 = −1 − 𝜆}
𝑧 = 6 − 7𝜆
Continua:
2º Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 5: Rectas y Planos. RESPUESTAS IES ATENEA Ciudad Real
Revisor: Luis Carlos Vidal Del Campo
www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Creadas con GeoGebra
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