Apuntes Mates II

Matemáticas II.
2º Bachillerato.
Capítulo 5: Rectas y planos
en el espacio




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Autores: Leticia González Pascual y Álvaro Valdés Menéndez
Revisores: Milagros Latasa Asso y Luis Carlos Vidal Del Campo
Todas las imágenes han sido creadas por los
autores utilizando software libre (GeoGebra y GIMP)

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Índice
1. LA RECTA EN EL ESPACIO
1.1. ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
1.2. ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA
1.3. ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA
1.4. ECUACIONES IMPLÍCITAS O CARTESIANAS DE LA RECTA
1.5. ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

2. ECUACIONES DEL PLANO EN EL ESPACIO
2.1. ECUACIÓN VECTORIAL DEL PLANO
2.2. ECUACIONES PARAMÉTRICAS DEL PLANO
2.3. ECUACIÓN GENERAL DEL PLANO
2.3.1. Vector normal del plano
2.3.2. Ecuación del plano dado su vector normal y un punto
2.4. ECUACIÓN SEGMENTARIA DEL PLANO
2.5. ECUACIÓN DEL PLANO QUE PASA POR TRES PUNTOS
2.6. CONDICIÓN PARA QUE CUATRO PUNTOS SEAN COPLANARIOS

3. POSICIONES RELATIVAS
3.1. POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS EN EL ESPACIO
3.2. POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS EN EL ESPACIO
3.3. HACES DE PLANOS EN EL ESPACIO
3.3.1. Haz de planos secantes
3.3.2. Haz de planos paralelos
3.4. POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO EN EL ESPACIO
3.5. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO


Resumen
En este capítulo se inicia el estudio de la Geometría Analítica en el
espacio de dimensión tres, con las ecuaciones de las rectas y de los
planos que nos permiten conocer si una recta está contenida en un
plano, lo corta o es paralela a él, cuáles son las posiciones relativas de
dos rectas en el espacio, y lo mismo, de dos planos.




2º de Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 5: Rectas y planos en el espacio Autores: Leticia González y Álvaro Valdés
Revisores: Milagros Latasa Asso y Luis Carlos Vidal Del Campo
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1. LA RECTA EN EL ESPACIO
1.1. Ecuación vectorial de la recta
Una recta r en el espacio viene determinada por un punto P0  r y un vector .

‐ El vector OP 0 se denomina vector de posición del punto P0 .

‐ El vector v se denomina vector director, y su dirección es paralela a la de la recta.

El vector OP0  t  v es un vector que tiene su origen en O y cuyo extremo es un punto de la recta r. Es
decir, para cada valor del parámetro t es el vector de posición de un punto P de la recta.




Se llama ecuación vectorial de la recta r a la expresión:

OP  OP 0  t  v

donde P x , y , z  es un punto genérico de la recta, OP0   x 0 , y 0 , z 0  es el vector de posición de un

punto dado de la recta P0  r, v  v1 , v2 , v3  es un vector director de la recta y t es cualquier número
real.
A partir de la ecuación anterior, para cada valor de t obtendremos un punto de la recta r.


1.2. Ecuaciones paramétricas de la recta
Si expresamos la ecuación anterior en coordenadas, tenemos:
x, y, z   x0 , y0 , z0   t  v1 , v2 , v3 
igualando coordenada a coordenada, obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta:
x  x0  t  v1 

y  y0  t  v2  con t  R
z  z 0  t  v3 




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1.3. Ecuación continua de la recta
A partir de las ecuaciones paramétricas, despejando t e igualando, obtenemos la ecuación continua:
x  x0 
t
x  x 0  t  v1  x  x 0  t  v1  v1 
  y  y 0  Igualando:
y  y0  t  v2   y  y0  t  v2   t  
  v2 
z  z 0  t  v3  z  z 0  t  v3  z  z0 
t
v3 

x  x0 y  y0 z  z0
 
v1 v2 v3




1.4. Ecuaciones implícitas o cartesianas de la recta
A partir de la ecuación continua, separando las igualdades y agrupando todos los términos en un
miembro, obtenemos las ecuaciones implícitas de la recta:
x  x0 y  y 0 

v1 v 2  v 2  x  x0   v1  y  y 0  v 2 x  v 2 x0  v1 y  v1 y 0 
  
x  x0 z  z 0  v3  x  x0   v1  z  z 0   v3 x  v3 x0  v1 z  v1 z 0 
 
v1 v3 

De donde:
𝑣 𝑥 𝑣 𝑦 𝑣 𝑦 𝑣 𝑥 0 𝐴𝑥 𝐵𝑦 𝐶 0
⇒
𝑣 𝑥 𝑣 𝑧 𝑣 𝑧 𝑣 𝑥 0 𝐴′𝑥 𝐵′𝑧 𝐶′ 0
con:
𝐴 𝑣 , 𝐵 𝑣 , 𝐶 𝑣 𝑦 𝑣 𝑥
𝐴′ 𝑣 , 𝐵′ 𝑣 , 𝐶′ 𝑣 𝑧 𝑣 𝑥




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