Class notes
Apuntes Mates II
- Course
- Institution
. (.)
[Show more]
Seller
Follow
isabelsaorin
Content preview
Matemáticas II.2º Bachillerato.
Capítulo 6: Geometría
métrica en el espacio
www.apuntesmareaverde.org.es
Autores: Leticia González Pascual y Álvaro Valdés Menéndez
Revisores: Milagros Latasa Asso y Luis Carlos Vidal Del Campo
Todas las imágenes han sido creadas por los
autores utilizando software libre (GeoGebra y GIMP)
,185 Geometría métrica en el espacio
Índice
1. ÁNGULOS EN EL ESPACIO
1.1. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS
1.2. ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO
1.3. ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS
1.4. PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD Y POSICIONES RELATIVAS
2. PROYECCIONES ORTOGONALES
2.1. PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE UNA RECTA
2.2. PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE UN PLANO
2.2. PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UNA RECTA SOBRE UN PLANO
3. PUNTOS SIMÉTRICOS
3.1. SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE OTRO PUNTO
3.2. SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA RECTA
3.3. SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE UN PLANO
3.4. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO
4. DISTANCIAS EN EL ESPACIO
4.1. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
4.2. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
4.3. DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO
4.4. DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS
4.5. DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO
4.6. DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS
Resumen
En este último capítulo de geometría en dimensión tres vamos a ser
capaces de resolver problemas de cálculo de distancias, de ángulos,
de proyecciones… utilizando todo lo aprendido en los anteriores
capítulos de geometría.
2º de Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 7: Geometría métrica en el espacio Autores: Leticia González y Álvaro Valdés
Revisores: Milagros Latasa Asso y Luis Carlos Vidal Del Campo
www.apuntesmareaverde.org.es Imágenes creadas por los autores
,186 Geometría métrica en el espacio
1. ÁNGULOS EN EL ESPACIO
1.1. Ángulo entre dos rectas
Sabemos que la dirección de una recta viene dada por su vector director. Con ello, podemos deducir:
El ángulo que forman dos rectas es el ángulo agudo determinado por los vectores directores de dichas
rectas.
Sean las rectas r y s, con vectores directores respectivos u y
v , tenemos:
u v u v
cos r , s arc cos
u v u v
Actividad resuelta
Halla el ángulo determinado por las rectas
x 1
x3 z2
r : y 2 3 y s: y 1 .
5 1
z 2
De las ecuaciones deducimos fácilmente que los vectores directores de r y s son, respectivamente:
u 1, 3, 2 y v 5, 1, 1
Por tanto:
u 1 3 2 2 2 14
2
4 4
v 5 2 12 1 27 cos
2
14 27 378
u v 1,3,2 5,1, 1 5 3 2 4 u v 4 4
4
De aquí: r , s arc cos 78º
378
1.2. Ángulo entre una recta y un plano
Al contrario que en el apartado anterior, la dirección del vector asociado al plano (su vector normal) es
perpendicular al propio plano. Por tanto, en este caso debemos razonar que:
El ángulo que forman una recta y un plano es el complementario del ángulo agudo que forman el
vector director de la recta y el vector normal del plano.
Sea la recta r, con vector director u y el plano , con
vector normal n , tenemos:
u n u n
cos r , 90 º arc cos
u n u n
2º de Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 7: Geometría métrica en el espacio Autores: Leticia González y Álvaro Valdés
Revisores: Milagros Latasa Asso y Luis Carlos Vidal Del Campo
www.apuntesmareaverde.org.es Imágenes creadas por los autores
, 187 Geometría métrica en el espacio
Actividad resuelta
x3 z 1
Halla el ángulo determinado por la recta r : y4 y el plano : 5 x y 3 z 1 0 .
2 2
Sea u 2, 1, 2 un vector director de r y n 5, 1, 3 un vector normal de .
Tenemos:
u 2 12 2 2 9 3
2
5 5
n 5 2 1 3 2 35 cos
2
3 35 3 35
u n 2,1,2 5,1,3 10 1 6 5 u n 5 5
5
De aquí: r , 90º arc cos 90º 74º 16º
3 35
1.3. Ángulo entre dos planos
En este caso los dos vectores normales son perpendiculares a los respectivos planos, de modo que:
El ángulo formado por dos planos es el ángulo agudo determinado por los vectores normales de dichos
planos.
Sean los planos y , con vectores normales
respectivos n y n, tenemos:
n n n n
cos , ' arc cos
n n n n
Actividad resuelta
Halla el ángulo formado por los planos
x 1 2
: 2x y z 4 0
y : y 2 2 .
z 2
Sea n 2, 1, 1 un vector normal de , y hallamos el vector normal de con el producto vectorial de
sus vectores directores:
i j k
n u v 1 2 1 5 i 0 j 5 k
2 1 2
Calculamos:
|𝑛⃗| 2 1 1 √6
𝑛⃗ ′
5 0 5 5 ⋅ √2 ⇒
𝑛⃗ ⋅ 𝑛⃗ ′
2, 1, 1 ⋅ 5, 0, 5 10 0 5 15 ⇒ 𝑛⃗ ⋅ 𝑛⃗ ′ | 15| 15
15 3
cos
6 5 2 2
√
Por lo tanto: 𝛼 𝜋, 𝜋 ′ arc cos 30º
2º de Bachillerato. Matemáticas II. Capítulo 7: Geometría métrica en el espacio Autores: Leticia González y Álvaro Valdés
Revisores: Milagros Latasa Asso y Luis Carlos Vidal Del Campo
www.apuntesmareaverde.org.es Imágenes creadas por los autores
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller isabelsaorin. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $6.64. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
70055 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now