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Skript - Mathematik für Pharmazeuten

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Course
Mathematik für Pharmazeuten

Institution
Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf (HHU / HHUD)

Dieses Skript ist an den Inhalten der Vorlesung "Mathematik für Pharmazeuten" im ersten Fachsemester orientiert. Für ein optimales Verständnis der Thematik sind Beispielrechnungen angeführt. Als optimale Zusammenfassung der Vorlesung eignet sich dieses Skript bestens zur Vorbereitung auf die M...

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Uploaded on February 18, 2023
Number of pages 34
Written in 2021/2022
Type Other
Person Unknown

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deskriptive statistik
induktive statistik
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heinrich heine universität

Institution
Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf (HHU / HHUD)
Education
Pharmazie
Course
Mathematik für Pharmazeuten

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SKRIPT: MATHEMATIK FÜR PHARMAZEUTEN
INHALT
Einführung 3
Definition 3
Statistik als Teilgebiet der Stochastik 3
Zufallsexperiment 3
Vereinfachter Ablauf einer statistischen Analyse in der Pharmazie 3
Deskriptive Statistik 4
Merkmale 4
Lagemaße 4
Streuungsmaße 4
Verhalten der Lage- und Streuungsmaße bei linearen Transformationen 4
Variationskoeffizient 4
Geordnete Statistik 5
Lagemaße & Streuungsmaße 5
Abhängigkeitsmaß: Pearsons Korrelationskoeffizient 5
Grafische Darstellung 6
Streudiagramme 6
Boxplots 6
Histogramme 6
Lineare Regression 7
Grundlagen der Stochastik 8
Wahrscheinlichkeitsbegriffe 8
Ereignisse und Mengenlehre 8
Verknüpfung von Ereignissen: Venn-Diagramm 8
Wahrscheinlichkeitsmaße 8
Kombinatorik & Verteilungen 10
Kombinatorische Kenngrößen 10
Aus dem Urnenmodell abgeleitete Verteilungen 10
Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit 12
Bedingte Wahrscheinlichkeit 12
Rechenregeln 12
Begriffe aus der Testdiagnostik 13
Stochastische Unabhängigkeit 13
Diskrete Zufallsvariablen 14
Definition von Zufallsvariablen 14
Verteilungen einer diskreten Zufallsvariablen 14
Zähldichten 14
Verteilungsfunktionen 15
Kenngrößen von Diskreten Zufallsvariablen 16
Zufallsvektoren 18

, Gemeinsame Verteilungen 18
Unabhängige Zufallsvariablen 18
Kovarianz und Korrelation 18
Grenzwertsätze 20
Gesetz der großen Zahlen 20
Tschebyscheff-Ungleichung 20
Normalverteilung 20
Zentraler Grenzwertsatz 22
Normalapproximation 22
Schätzen von Parametern 23
Schätzverfahren 23
Konfidenzintervalle 24
Statistische Tests 27
Grundlagen 27
Signifikanztests 28

,EINFÜHRUNG

DEFINITION
Unter der Statistik versteht man die Lehre und Anwendung von Methoden zur Erhebung, Aufbereitung, Analyse und Interpre-
tation empirischer Daten. Sie lässt sich auffassen als Wissenschaft zur Analyse der Relation zwischen Realität und Theorie.

STATISTIK ALS TEILGEBIET DER STOCHASTIK

Mathematische
Modellierung von zufälligen
Wahrscheinlichkeitstheorie
Vorgängen und Analyse
deren Gesetzmäßigkeiten

Stochastik
deskriptive Statistik

Statistik

induktive Statistik

ZUFALLSEXPERIMENT
Ein Zufallsexperiment ist der Prototyp eines zufälligen Vorgangs, er ist durch folgende Eigenschaften gekennzeichnet:

1. Es sind verschiedene Ergebnisse möglich, es tritt aber nur ein Ergebnis auf
2. Das Ergebnis vor Ablauf ungewiss
3. Es ist (prinzipiell) unter den gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar

Beispiele für Zufallsexperimente sind der einfache Münzwurf, das Zahlenlotto oder das Würfeln.

VEREINFACHTER ABLAUF EINER STATISTISCHEN A NALYSE IN DER PHARMAZIE

Ausgangspunkt
•Vermutung über einen realen Sachverhalt

Versuchsplanung
•Festlegung einer Erhebung, mit welcher Aussagen über den Sachverhalt getroffen
werden können

Wahrscheinlichkeitstheoretische Modellierung
•Formulierung relevanter Hypothesen in einem mathematischen Modell der zu
erhebenden Daten und Bewertung möglicher Augänge im Hinblick auf die Hypothesen

Datenerhebung (nach Vorgabe der Versuchsplanung)

Vergleich: Theorie vs. Wirklichkeit (induktive Statistik)

, DESKRIPTIVE STATISTIK
Ziel der deskriptiven Statistik ist es, erhobene Daten durch Kenngrößen und Grafiken zusammenzufassen und anschaulich
darzustellen.

MERKMALE

unterscheiden ordnen verrechnen
nominal/qualitativ ja nein nein
ordinal ja ja nein
quantitativ ja ja ja
diskrete Merkmale: besitzen endliche oder abzählbare Anzahl von möglichen Ausprägungen

stetige Merkmale: können beliebig viele Ausprägungen annehmen, nicht abzählbar

pseudodiskrete Merkmale: stetige Merkmale erscheinen auf den ersten Blick diskret, nachdem ihre Ausprägungen „dis-
kret“ gemacht worden sind → werden jedoch wie stetige Merkmale behandelt

QUALITATIVE & QUANTITATIVE MERKMALE IM VERGLEICH
qualitative Merkmale quantitative Merkmale
Darstellungsmöglichkeiten Diagramme Diagramme & Boxplots
Lage- & Streuungsmaße
statistische Kenngrößen Modus
Modus

LAGEMAßE

MODUS ARITHMETISCHES MITTEL
𝑛
Bei dem Modus handelt es sich um die am meisten vorkommende 1
Ausprägung einer Variable im Zufallsexperiment. 𝑥 = ∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1

Problem: nicht robust gegen Ausreißer

STREUUNGSMAßE

EMPIRISCHE VARIANZ EMPIRISCHE STANDARDABWEICHUNG
𝑛
1 Die empirische Standardabweichung ist für die Beurteilung der Streuung 𝑠 = √𝑠 2
2
𝑠 = ∑(𝑥𝑖 − 𝑥)² aussagekräftiger als die empirische Varianz.
𝑛−1
𝑖=1

VERHALTEN DER LAGE- UND STREUUNGSMAßE BEI LINEAREN TRANSFORMATIONEN
Werden die Daten xi, …, xn mit a ≠ 0 zu y = a∙xi + b transformiert (z.B.: Umrechnung von Meter in Zentimeter mit a = 100 und
b = 0), so gilt für die transformierten Daten y1, …, yn:

arithmetisches Mittel: empirische Varianz: empirische Standardabweichung:
y = ax + b sY2 = a²sX2 sY = |a|sX
Die empirische Varianz sowie die empirische Standardabweichung sind skalenabhängig.

VARIATIONSKOEFFIZIENT
s
Um die Variation zweier Merkmale miteinander vergleichen zu können, verwendet man den Varia- CV = 𝑚𝑖𝑡 𝑥̅ ≠ 0
x
tionskoeffizienten. Darunter versteht man das Verhältnis zwischen der Streuung und dem Mittel-
wert, er berechnet sich demnach wie rechts angegeben.

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