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Travaux dirigés de Mécanique quantique
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Travaux dirigés de Mécanique quantique pour la filière science de la matière physique
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UNIVERSITE CADI AYADFACULTE DES SCIENCES SEMLALIA ANNEE UNIVERSITAIRE 2013/2014
DÉPARTEMENT DE PHYSIQUE
MARRAKECH SMP / S4
MÉCANIQUE QUANTIQUE
Exercices complémentaires de la Série 2
Exercice 1 : Evolution d’un paquet d’ondes gaussien
On considère une particule libre de masse m que l’on décrit par un paquet d’ondes (à une
dimension) défini par :
1 i k x . x ( k x ) . t
( x , t )
2
g ( k x ) e dk x
1) Montrer que (x,t) est solution de l’équation de Schrödinger.
2) On suppose que g(kx) est une gaussienne centrée sur kx0 ; soit :
a
g(kx) =A.exp[a2(kxkx0)2]/4 avec A= et a est homogène à une distance.
( 2m)
a) Montrer que la probabilité de présence de la particule est indépendant du temps.
b) En utilisant la forme ci-dessus de g(kx), on obtient après intégration, l’expression suivante
pour (x) (à un facteur de phase près) :
1
2a 2 4 2 ( x , t )
(x,t) = exp
( t ) Z( t )
4 t2 k x0 t
avec α(t) a 4 ; (x, t) x et Z(t) a 2 i 2 t
m2 m m
i) Calculer la densité de probabilité. ii) En déduire la vitesse du groupe vg.
3) Retrouver vg en considérant la relation de dispersion (kx). Comparer vg à la vitesse de
phase v et à la vitesse v de la particule. Conclure.
V(x)
Exercice 2 : Puits de potentiel
Soit une particule de masse m d'énergie E se trouve piégée dans V0
un puits de potentiel carré de la figure ci-contre tel que 0<E<V0
1) V0 fini (I) (II) (III)
a) Résoudre l'équation de Schrödinger stationnaire dans les trois régions.
b) Donner la signification physique de chaque terme. 0 a x
c) Expliciter les conditions de continuités aux points x=0 et x=a.
d) Déduire la condition à la quelle doivent satisfaire les quantités k, et a, où k et sont
définies comme suit : k2=2mE/ 2 et 2= 2m(V0E)/ 2 .
2) V0 infini
Si V0 tend vers l'infini :
a) Que deviennent les solutions de l'équation de Schrödinger dans les régions (I) et (III)?
b) En écrivant les conditions de continuité aux points x=0 et x=a, déduire les valeurs
possibles de l'énergie E de la particule dans le puits. Conclure.
c) Généraliser à trois dimensions et retrouver les énergies de la particule et les fonctions
d’onde associées. Donner la dégénérescence des 5 premiers niveaux d’énergie.
MQ - Complément de la série 2 1/5 SMP/S4
, Corrigé des Exercices complémentaires de la série 2
MQ - Complément de la série 2 2/5 SMP/S4
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