Summary
Samenvatting missende sketches-- Math Through The Ages.
- Course
- Institution
- Book
12 sketches uit Math Through The Ages.
[Show more]
Connected book
Book Title:
Author(s):
- Edition:
- ISBN:
- Edition:
3 reviews
By: ikben_marloes • 5 year ago
By: joris_meulen • 7 year ago
By: djk • 7 year ago
Seller
FollowHermanvanderWal
Reviews received
Content preview
Samenvatting missende sketchesInhoudsopgave
Sketch 2: Were symbols came from ............................................................ 2
Sketch 3: Noting becomes a number. Story of Zero. ................................ 3
Sketch 5: Negative Numbers ........................................................................ 4
Sketch 6: Bu Tens and Tenths Metric Measurement ................................. 6
Sketch 13: A marvelous proof; Fermat’s Last Theorem ........................... 7
Sketch 19: Strange new Worlds. The Non-Eucledean Geometries. ....... 9
Schets 20: In the eye of the beholder projective geometry ...................... 11
Sketch 21: What’s in a game? Kansrekenen ............................................. 12
Sketch 22: Making sense of data ................................................................. 14
Sketch 23: Machines die nadenken? ........................................................... 16
Sketch 24: Rekenkundig beredeneren ........................................................ 18
Sketch 25: Beyond Couting infinity and the Theory of Sets. .................. 19
Missende sketches 1
,Sketch 2: Were symbols came from
Rekenkundige bewerkingen zijn universeel. Maar Grieken en Arabieren deden het met
woorden. In de vroege Renaissance verschenen rekenkundige symbolen.
De bewerking: (5+6) – 7 = 4 is in de loop der jaren veranderd.
TIJDLIJN:
1470: Regiomontanus: (5+6)-7= 4 werd geschreven als 5 et 6 vreemd-teken
7–4
1494 Luca Pacioli (in summa de Aritmetica): 5 p 6 m 7 – 4 voor (5+6)-7= 4
1557 Robert Recorde’s algebra boek (The Whetstone of Witte) bevat als
eerste + en -, en ook = voor gelijkheid. Maar was niet direct populair,
vooral in Italie, Spanje en Frankrijk. Daar schreven ze nog p met
streepje, m met streepje, etc. Het gelijkteken werd een halve eeuw
niet gebruikt.
1629 Albert Girard (Frankrijk) gebruikt : met – in het midden als minus
teken. En tot in de 19e eeuw werd dit gebruikt.
1631 (SK2) William Oughtred in Clavis mathematique, gebruikt +, - en = standaard.
en Harriot gebruikt ook al > en <. Ook introduceerde Ougthred het
keerteken x.
1637 Rene Descartes gebruikt een - - voor -. En een half open liggend
oneindig teken voor =. Tot in 18e eeuw nog gebruikt.
1698 (SK2) Leibnitz vond de keer-x en de variabele-x verwarrend en introduceerde
de hangende punt als keerteken.
1700 en verder Leibnitz, Bernouillis broers en Euler introduceren haakjes.
1923 (SK2) Mathematical Association meldt dat de streep-dubbele punt voor
deling moest worden verwijderd en dat fractional notation het
deelteken zou moeten zijn. Niet snel geaccepteerd.
Vier verschillende soorten keertekens zijn er bekend:
1) X-keerteken
2) Weglaten van keertekens bij 3(a+5) bijvoorbeeld
3) Hangende punt
4) Asterisk
Het deelteken: ook 3-4 verschillende notaties. Dit keer duurde het langer voordat er
eenheid kwam.
Het oude teken voor : (met een breukstreep ertussen), kwam uit een 17e eeuws algebra
boek: Tuetsche Algebra door Johann Rahn. In England, VS populair, maar rest Europa wilde :.
Missende sketches 2
,Sketch 3: Noting becomes a number. Story of Zero.
Mesopotamie, 1600 BC: Babyloniers hadden positie waarde systeem.
Probleem is dat 72 ( met 601) er hetzelfde uitziet als 3612 met (602). Het hing af van de
context hoe je alle tekens met elkaar moest interpreteren.
Tussen 700-300 BC begonnen ze een hangende punt te gebruiken als nul. Zo was de nul
geboren.
Indiërs gebruikten in 600 AD een klein cirkeltje als de nul. De Arabieren leerden dit in de 9e
eeuw, en brachten het naar Europa.
Het Indiase woord sunya werd uiteindelijk Zephyr.
In de 9e eeuw werd de nul ook echt als kwantiteit gebruikt! Ze gebruiken nul als getal.
Mahavira, 850, schreef dat een getal maal nul een nul oplevert. Een getal min nul blijft
hetzelfde. Maar hij zei ook: een getal gedeeld door nul bleef hetzelfde.
Bhaskara, 1100, meldde dat een getal gedeeld door nul juist oneindig was.
Indiase ontdekking van nul als een getal was een sleutel om de algebra deur te openen.
Bij Al Kwarizmi was de nul alleen een plaatsbepaling.
Dixit Algorizmi betekent: Volgens Al Kwarizmi
Indiase idee: “gebruik nul als iets met eigen rechten” heeft lang geduurd voordat het
geaccepteerd werd.
In Europa: Harriot, 1560-1621, vond dat vergelijkingen aan de ene kant gelijk waren aan nul
aan de andere kant. Harriots Principe: een polynoom = 0.
Descartes heeft dat principe gepopulariseerd. Het was revolutionair, maar nu lijkt het
logisch. Wat werd gesteld is de A x B = 0 formule, en dat je daardoor kwadratische
vergelijkingen via ontbinden in factoren snel kon oplossen.
Als je Harriots Principe linkt aan Descartes coördinaat geometrie, dan wordt het nog
interessanter. Als je een kwadratische formule tekent, dan zie je een parabool. Als je de
kwadratische formule op nul stelt, dan kun je de oplossingen tekenen op de x-as. Als er
GEEN makkelijke kwadratische formule is, dan kun je altijd wel de waarde schatten doordat
je de grafiek tekent en zo het snijpunt met de x-as ziet.
Dus in de 18e eeuw was nul van een plaatsbepaler naar nummer naar algebraïsch
werktuig geëvolueerd.
Missende sketches 3
,Sketch 5: Negative Numbers
Pas een paar honderd jaar geleden negatieve getallen geaccepteerd.
Nummers kwamen van zaken die je ging tellen: 5 geiten etc.
Breuken kwamen door introductie van verkleinend bezig zijn.
Praktisch was het logisch dat men niet in negatieve getallen dacht.
Negatieve getallen kwamen als eerste op toen men vergelijkingen wilde oplossen. Bv.
18+x=2(11+x)
Egypte en Mesopotamië dachten totaal niet aan negatieve getallen, terwijl ze wel dat soort
vergelijkingen konden oplossen. De Chinese wiskundigen zouden in staat moeten zijn
daarmee te werken. Onze wiskunde is gebaseerd op oude Griekse wiskunde, en die
negeerden negatieve getallen compleet.
Dat omdat ze dachten in lijnen en oppervlaktes, en Niet in nummers. Zelfs Diophantus dacht
er niet aan. Diophantus vond 4x +20 = 4 een absurde vraag.
Brahmaputra heeft een beetje gewerkt met negatieve getallen, (7e eeuw). Hij beschouwde
positieve getallen als credit en negatieve als schuld. Werkte verder gewoon met alle normale
regels ermee.
5 eeuwen later, Bhaskara kwam wel met twee oplossingen voor x 2 – 45x = 250.
Het vroege Europese begrip over negatieve getallen kwam niet door dit laatstgenoemde
werk. Wel door 2 boeken die door Khwarizmi uit de 9e eeuw. Khwarizmi had het in woorden
over twee oplossingen maar bedoelde daarmee wel 2 positieve oplossingen.
Wat de Arabieren wel begrepen is dat bij (x-a)(x-b) twee negatieve getallen in een product
weer positief waren.
Kortom: Europese wiskunde leerde van andere volkeren geen negatieve getallen.
Blz. 96
Na de renaissance veranderde dat. Kwam door astronomie, navigatie, oorlogje spelen,
In de 16e eeuw waren Cardano, Stifel en Viete nog afkerig van negatieve getallen, en
noemde ze valse wortels of fictieve oplossingen. Maar na begin 17e eeuw kwam de
kentering.
Er was wel scepsis en verkeerd begrip over negatieve getallen.
Een complicatie was het werken met wortels. Er werd vreemd gedaan met de oplossing van
x2 +2 =2x. Dat zou zijn 1 + wortel uit -1 en als tweede oplossing 1- wortel uit -1.
Descartes beschouwde negatieve oplossingen “false”, en ook imaginair. Het aparte was dat
het gebruik van negatieve coördinaten door Descartes niet werd gebruikt, terwijl het
Carthesian coordinate system wel naar hem is vernoemd. Er was bij hem geen negatieve x-
of y-as.
Dan was er onenigheid over waar de negatieve getallen precies moesten staan. John Wallis
TIJDLIJN 1655 claimde dat negatieve nummers groter waren dan oneindigheid. Omdat 3/0
oneindig was, zou 3/-1 nog veel oneindiger zijn…..
Er was echter geen probleem met rekenen met negatieve getallen.
Missende sketches 4
, Newton , in 1707 had ook geen schrandere uitspraak over negatieve getallen.
In het midden van de 18e eeuw waren negatieve getallen geaccepteerd, samen met
irrationele getallen, complexe getallen.
Blz 97
Leonard Euler snapte dat je vanuit negatieve getallen weer terug kan komen op nul na een
optelling.
Maar lastig was het toch om –a x –b = ab te beschouwen. Het werd dan gedacht het
tegenovergestelde te zijn van a x –b = -ab.
Met het werk van Gauss, Galois, Abel in de vroege 19e eeuw, werd het meer werken met
algebraïsche systemen. Omdat dat meer abstract werd, was het ook niet erg om de echte
betekenis van negatieve getallen uit te pluizen.
Missende sketches 5
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller HermanvanderWal. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $3.77. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
67096 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now