summary Matrices and Linear Transformations

Cours d’algèbre 1
Filière MIP-MIPC
premier semestre

........................................
Chapitre : Calcul matriciel et systèmes linéa
((Chapitre complet))
[Séance ..]




Karim KREIT

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Art. No xxxxx
ISBN xxx–xx–xxxx–xx–x
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,Table des matières



1 Matrices (Définitions et propriétés). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1 Calcul Matriciel ....................................................................................... 4
1.1.1 Définition et notations ...................................................................... 4
1.1.2 Matrices particulières ....................................................................... 5
1.1.3 Opérations sur les matrices .............................................................. 8
1.2 Quelques propriétés des matrices carrées ................................................ 14
1.2.1 Puissance d’une matrice ................................................................. 14
1.2.2 Matrices symétriques-Matrices antisymétriques ................................ 16
1.2.3 La trace ........................................................................................ 17
1.2.4 Matrices inversibles ....................................................................... 19

2 Résolution des systèmes linéaires (Pivot de Gauss) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.0.1 Les matrices élémentaires .............................................................. 23
2.1 Matrices échelonnées ............................................................................. 25
2.1.1 Équivalence à une matrice échelonnée ............................................. 26
2.1.2 Inverse d’une matrice - Méthode Gausse .......................................... 29
2.2 Systèmes linéaires ................................................................................. 32
2.2.1 Matrices et systèmes linéaires ........................................................ 32
2.2.2 Matrices inversibles et systèmes linéaires ........................................ 32




3

, 1. Matrices (Définitions et propriétés).

1.1 Calcul Matriciel ........................................................ 4
1.2 Quelques propriétés des matrices carrées .................... 14




Dans ce chapitre, K désigne un corps. On peut penser à Q, R ou C.


1.1 Calcul Matriciel

1.1.1 Définition et notations
Definition 1.1.

Soit (n, p) ∈ N∗ .
On appelle matrice de type (n, p) ou de format n×p à coefficients dans K, un tableau
rectangulaire A à n lignes et p colonnes d’éléments de K, c’est-à-dire

a1,1 a1,2 ... a1,j ... a1,p 
 
a2,1 a2,2 ... a2,j ... a2,p 
 
 
 . . . ... ... ... ... . . . 
A = 
 ai,1 ai,2 ... ai,j ... ai,p 

 
 . . . ... ... ... ... . . . 

an,1 an,2 ... an,j ... an,p


 
Et en abrégé: A = ai,j 16i6n ou plus simplement (aij ) lorsqu’il n’y a pas de confu-
16j6p
sion.

• Les ai,j sont appelés coefficients de la matrice A. L’élément ai,j correspond a
la valeur de l’intersection de la ligne i et de la colonne j.

• On dit que A est de taille n × p.

L’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K est noté
Mn,p (K). Si K = R les éléments de Mn,p (R) sont appelés matrices réelles.




Exemple 1.1 !
1 −2 5
A=
0 3 7
est une matrice 2 × 3 avec, par exemple, a1,1 = 1 et a2,3 = 7.



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