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Teoría de las funciones en matemáticas
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Guía para estudiar y comprender las funciones en matemáticas en 1º de Bachillerato
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Solucionario9 Estudio de funciones
ACTIVIDADES INICIALES
9.I. Resuelve las siguientes inecuaciones.
x4 x2 7x 12
a) 2x2 10x 12 0 b) —— 0 c) x x3 0 d) — — 0
x1 x2 9
a) (3, 2) b) (1, 4] c) (, 1] [0, 1] d) (, 3) (4, )
9.II. Halla el valor en radianes de los siguientes ángulos. 30, 45, 60, 90, 120, 180, 225 y 330
2 5 11
30 ; 45 ; 60 ; 90 ; 120 ; 180 ; 225 ; 330
6 4 3 2 3 4 6
3 4 3
9.III. Calcula el valor en grados de estos ángulos: ——, ——, ——, ——, , ——, —— y ——.
2 3 4 6 4 3 2
3 4 3
90, 60, 45, 30, 180, 135, 240 y 270
2 3 4 6 4 3 2
9.IV. a) Calcula las razones trigonométricas de los ángulos y de la figura.
b) Con ayuda de la calculadora, halla el valor de y . β
3
3 α
a) La hipotenusa del triángulo vale 5 unidades por Pitágoras. Por tanto, sen ;
5 4
4 4 3 3 4
sen ; cos ; cos ; tg ; tg
5 5 5 4 3
b) 53,13 y 36,87
EJERCICIOS PROPUESTOS
9.1. Encuentra los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones y estudia su signo.
(x 3)(x 2)
a) f(x) 6x 5 b) f (x) x2 3x 4 c) f(x) ——
x 1
a) Corte con el eje X: 56 , 0. Corte con el eje Y: (0, 5)
5 5
Signo: positivo si 6x 5 0, es decir, x . Negativo si x .
6 6
b) Corte con el eje X: (1, 0) y (4, 0). Corte con el eje Y: (0, 4)
Signo: positivo si x2 3x 4 0, es decir, en (, 4) (1, ). Negativo en (4, 1).
c) Corte con el eje X: (3, 0) y (2, 0). Corte con el eje Y: (0, 6)
(x 3)(x 2)
Signo: positivo si 0, es decir, en (2, 1) (3, ). Negativo en (∞, 2) (1, 3).
x 1
9.2. Representa mediante una tabla de valores la función y
4 x2. Y
x 2 1 0 1 2
1
4
x2 0 3 2 3 0
O 1 X
62 Solucionario
,9.3. Estudia si las siguientes funciones son pares o impares, o si no presentan ninguna de estas simetrías.
x2 1
a) f (x) — — b) f (x) — — c) f(x) x5 x3 x
x 4
2
x3 1
x2
a) f(x) f (x), luego es par.
x 4
2
1
b) f (x) f (x), f (x), luego no presenta estas simetrías.
x3 1
c) f (x) x5 x3 x f (x), luego es impar.
9.4. Dada la parábola f (x) x2 6x:
a) Halla sus puntos de corte con los ejes.
b) Calcula su vértice.
c) Represéntala gráficamente y comprueba que es cóncava hacia arriba.
a) Corte con el eje X: (0, 0) y (6, 0). Corte con el eje Y: (0, 0)
b) V(3, 9)
c) Y
1
O 1 X
9.5. Dada la parábola f (x) x2 10x:
a) ¿En qué puntos su ordenada vale 9?
b) ¿En algún punto toma el valor 30?
c) Represéntala gráficamente y confirma los resultados anteriores.
a) x2 10x 9 si x 1 o x 9
b) x 10x
2
30 no tiene solución.
c) Y
5
O 2 X
9.6. Estudia si son pares o impares las siguientes funciones polinómicas.
a) f (x) x2 3x 1 c) f (x) 3x7 5x3 x
b) f(x) 2x4 x2 6 d) f (x) x8 x5 8x2 12
a) f (x) x2 3x 1 f(x), f (x), luego no presenta estas simetrías.
b) f (x) 2x4 x2 6 f (x), luego es par.
c) f (x) 3x 5x x
7 3
f (x), luego es impar.
d) f (x) x8 x5 8x2 12 f (x), f (x), luego no presenta estas simetrías.
Solucionario 63
, Solucionario
9.7. Esboza las gráficas de las siguientes funciones polinómicas.
a) f(x) (x 1)(x 1)(x 2) c) f (x) 2x(x2 3x 2)
b) f(x) (x2 4)(x 1) d) f (x) 4(x 1)2(x 3)2
a) Corte con Y: (0, 2). Cortes con X: (1, 0), (1, 0), (2, 0). lim f(x) , lim f (x)
x→ x→
Si 1 x 1, f (x) 0, y si 1 x 2, f(x) 0
b) Corte con Y: (0, 4). Cortes con X: (2, 0), (2, 0), (1, 0). lim f(x) , lim f (x)
x→ x→
Si 2 x 1, f (x) 0, y si 1 x 2, f (x) 0
c) Corte con Y: (0, 0). Cortes con X: (0, 0), (1, 0), (2, 0). lim f(x) , lim f (x)
x→ x→
Si 0 x 1, f (x) 0, y si 1 x 2, f(x) 0
d) Corte con Y: (0, 36). Cortes con X: (1, 0), (3, 0). lim f(x) , lim f(x)
x→ x→
f (x) 0 siempre.
a) Y c) Y
1
1
O 1 X
O 1 X
b) Y d) Y
1
O 1 X
1
O 1 X
9.8. Razona cuáles de las siguientes magnitudes son directa o inversamente proporcionales.
a) x: precio en euros de ciertos artículos.
y: precio en dólares de esos mismos artículos.
b) x: velocidad que lleva un ciclista en un recorrido.
y: tiempo que tarda en completar el recorrido.
c) x: número de personas que acuden a un sorteo.
y: probabilidad de que una de ellas sea agraciada.
d) Si llevo 100 euros en el bolsillo:
x: dinero que gasto.
y: dinero que me queda.
a) Si compro n artículos y pago x euros e y dólares, si 1 dólar k euros, entonces y kx, por lo que x e y son
directamente proporcionales.
e
b) Como v , siendo v la velocidad, e el espacio recorrido y t el tiempo empleado en recorrerlo, tenemos en
t
e e
nuestro caso: x , de donde y , por lo que x e y son inversamente proporcionales.
y x
c) La probabilidad de que una persona sea agraciada en un sorteo de n personas, si todas juegan lo mismo, o
1 1
sea, si todas tienen igual probabilidad de ser agraciadas, es p , en nuestro caso: y , por lo que x e y
n x
son inversamente proporcionales.
d) y 100 x, por lo que x e y no son ni directa ni inversamente proporcionales.
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