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Teoría de la optimización en matemáticas
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Guía para entender la optimización en Matemáticas 1º de Bachillerato
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Máximos y Mínimos ANÁLISIS Profesor: Juan T. ValverdeSELECTIVIDAD
1.- Halla dos números reales mayores o iguales que cero cuya suma sea 20, de forma que la
suma del cuadrado de uno y el cuadrado del doble del otro sea mínima.
http://www.youtube.com/watch?v=KNENHKAUTSc
2.- Un agricultor dispone de 400 metros de alambre con los que quiere vallar un campo
rectangular aprovechando que un rio hace ya de valla en un lado. ¿Cómo debe hacerlo para
cercar la máxima superficie?
http://www.youtube.com/watch?v=4A5Z9BLMsAw
3.- Encuentra dos números no negativos que sumen 14 de forma que la suma de sus
cuadrados sea
a) Máxima b) Mínima
http://www.youtube.com/watch?v=Y2oQ-p3mkOk
4.- Un depósito abierto de chapa y de base cuadrada debe tener capacidad para 13500 litros.
¿Cuáles han de ser sus dimensiones para que precise la menor cantidad de chapa?
http://www.youtube.com/watch?v=eqG4s9botKk
5.- Se quiere construir el marco de una ventana rectangular de 8 m2. El metro lineal de tramos
horizontales cuesta 2,50 euros y el de tramos verticales 5. Determina las dimensiones de la
ventana para que el coste del marco sea mínimo y el precio de dicho coste.
http://www.youtube.com/watch?v=4C9hVAtFtaU
6.- El producto de dos números positivos es 36. Calcúlalos para que su suma sea lo más
pequeña posible.
http://www.youtube.com/watch?v=ckOUaBUQ01U
7.- Halla las dimensiones de los lados de un triángulo rectángulo de 10 m de hipotenusa para
que su área sea máxima. ¿Cuál será dicha área?
http://www.youtube.com/watch?v=UyeE47SUt_M
8.- Halla las dimensiones de una ventana rectangular de 6 m de perímetro para que tenga la
máxima superficie posible y asi produzca la máxima luminosidad.
http://www.youtube.com/watch?v=fn8c_zfIzpA
9.- Halla dos números cuya suma sea 20 sabiendo que su producto es máximo.
(Junio 2007 y Septiembre 2009)
http://www.youtube.com/watch?v=rEP8lS_Vv5c
10.- Encuentra un número que al restarle su cuadrado la diferencia se máxima.
http://www.youtube.com/watch?v=89gHEy5L8AA
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, Máximos y Mínimos ANÁLISIS Profesor: Juan T. Valverde
SELECTIVIDAD
11.-Queremos escribir un texto de 96 cm2 y tal que haya 2 cm de margen en cada lateral de la
hoja en la que esta escrito, así como 3 cm arriba y otros 3 abajo. Calcula las dimensiones de la
hoja más pequeña posible.
http://www.youtube.com/watch?v=nx-BxzgIvCw
12.- Se quiere construir una piscina en forma de paralelepípedo recto de base cuadrada .
Disponemos de 192 m2 de baldosas para recubrir las paredes y el fondo de la piscina. Halla
las dimensiones de ésta de manera que su capacidad sea máxima.
http://www.youtube.com/watch?v=92VNUUv7MvA&feature=relmfu
13.- Encuentra tres números positivos cuya suma de 14, que uno sea el doble del otro, y que
la suma de sus cuadrados sea mínima.
http://www.youtube.com/watch?v=8QOzP34Ozts&feature=relmfu
14.- Una fábrica de televisores vende cada aparato a 300 €. Los gastos derivados de fabricar x
televisores son D(x) = 200x+x2 donde 0 x 80 .
a) Suponiendo que se venden todos los televisores que se fabrican, halla la función de
los beneficios que se obtienen después de fabricar y vender x televisores.
b) Determina el número de aparatos que conviene fabricar para obtener el beneficio
máximo, así como dicho beneficio máximo.
http://www.youtube.com/watch?v=LS8MeJqXqtw&feature=relmfu
15.- Un almacenista de frutas ha estimado que el beneficio que le produce cada kilogramo de
fresas, depende del precio de venta, de acuerdo con la siguiente función.
B(x) = 2x – x2 - 0,84
Siendo B(x) el beneficio por kilogramo, expresado en euros, y x el precio de cada kilogramo
también en euros.
a) ¿Entre que precios por kilogramo se producen beneficios para el almacenista?
b) ¿Qué precio por kilogramo maximiza los beneficios para éste?
c) Si tiene en el almacén 10000 kg de fresas, ¿Cuál será el beneficio total máximo que
podrá obtener?
http://www.youtube.com/watch?v=c5A4BHFJoQQ&feature=relmfu
16.- De entre todos los rectángulos de 100 m2 de área, encontrar las dimensiones del de
perímetro mínimo. (Junio 1996)
17.- Encontrar dos números cuya suma valga 10 y la suma de sus cuadrados sea mínima.
(Junio 1997)
18.- Encontrar de entre todos los rectángulos de perímetro dado 2p el que tiene diagonal
mínima. (Junio 1998)
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