Fundamenten van de wiskunde - uitwerkingen huiswerk week 3
11 views 0 purchase
Course
Fundamenten van de Wiskunde
Institution
Universiteit Utrecht (UU)
Book
Proofs and Fundamentals
Ook als de inleveropgave veranderd is, is dit natuurlijk nog steeds een heel goede oefening om de stof te begrijpen! Ik heb zelf erg genoten van het vak Fundamenten van de Wiskunde.
Opgave 3.2.1. Hoeveel elementen heeft de verzameling A = {a, b, {a, b}}?
Antwoord: Er geldt dat a ∈ A, b ∈ A en {a, b} ∈ A. Dit zijn alle
verschillende elementen die de verzameling A bevat. De verzameling A =
{a, b, {a, b}} heeft dus 3 elementen.
Extra informatie: De grootte van een verzameling wordt ook wel de kardinaliteit
van een verzameling genoemd, en kan worden genoteerd met verticale strepen
aan de linker- en rechterkant van de verzameling, net als bij de absolute
waarde. Voor Opgave 3.2.1 krijgen we dan voor de kardinaliteit van de
verzameling A dat |A| = 3. Een andere notatie die voorkomt is het gebruik
van een hekje, oftewel #A = 3.
Opgave 3.2.3. Hoe worden de volgende verzamelingen ook wel genoemd?
(1) A := {n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z}.
Antwoord: Bij een opgave met gehele getallen is het vaak verstandig om te
beginnen met kleine gevallen van n, met n ∈ Z.
Voor n = 0 hebben we 0 = 2 · 0 met 0 ∈ Z, dus
0 ∈ {n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z}.
1 1
Voor n = 1 hebben we 1 = 2 · 2
met 2
∈
/ Z, dus
1∈
/ {n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z}.
1
,Voor n = −1 hebben we −1 = 2 · − 12 met − 12 ∈
/ Z, dus
−1 ∈
/ {n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z}.
Voor n = 2 hebben we 2 = 2 · 1 met 1 ∈ Z, dus
2 ∈ {n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z}.
Voor n = −2 hebben we −2 = 2 · (−1) met −1 ∈ Z, dus
−2 ∈ {n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z}.
3 3
Voor n = 3 hebben we 3 = 2 · 2
met 2
∈
/ Z, dus
3∈
/ {n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z}.
We zien hierbij het volgende patroon:
{−2, 0, −2} ⊂ {n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z}.
De even getallen n zijn te schrijven als n = 2m met m ∈ Z en zitten dus in
de verzameling {n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z}.
De oneven getallen n zijn juist niet te schrijven als n = 2m met m ∈ Z, voor
deze getallen geldt namelijk n = 2m + 1 en zitten dus niet in de verzameling
{n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z}.
Conclusie: de verzameling {n ∈ Z | n = 2m met m ∈ Z} bestaat uit alle
even getallen.
Extra informatie: De verzameling bestaande uit alle even getallen wordt
ook wel genoteerd als 2Z.
(2) B := {k ∈ N | er bestaan p, q ∈ N zodat k = pq, en dat 1 < p <
k en 1 < q < k}.
Antwoord: Bij deze opgave bekijken we een deelverzameling van N, dus is
het ook hier verstandig om eerst kleine gevallen van k met k ∈ N te proberen.
Voor k = 1 hebben we 1 = 1 · 1, dus p = 1 en q = 1. Hieruit volgt:
1∈
/ B,
2
, want p = 1 ̸< 1 = k en q = 1 ̸< 1 = k.
Voor k = 2 hebben we 2 = 2 · 1, dus p = 1 en q = 1. Hieruit volgt:
2∈
/ B,
want p = 2 ̸< 2 = k en 1 ̸< 1 = q.
Voor k = 3 hebben we 3 = 3 · 1, dus p = 3 en q = 1. Hieruit volgt:
3∈
/ B,
want p = 3 ̸< 3 = k en 1 ̸< 1 = q.
Voor k = 4 hebben we 4 = 2 · 2, dus p = 2 en q = 2. Hieruit volgt:
4 ∈ B,
want 1 < p = 2 < k = 3 en 1 < q = 2 < k = 3.
We zien hierbij het volgende patroon:
{4, 6, 8, 9, 10} ⊂ B,
waarbij het getal k = 1 en de priemgetallen steeds worden overgeslagen. Laat
P de verzameling zijn van alle priemgetallen. Dan is de verzameling B te
schrijven als:
B = N − ({1} ∪ P ).
De verzameling B bestaat dus uit alle samengestelde getallen, oftewel alle
getallen die minstens twee keer deelbaar zijn door een (niet noodzakelijk
hetzelfde) priemgetal.
(3) C := {x ∈ R | er bestaan a, b ∈ Z zodat b ̸= 0 en x = ab }.
Antwoord: Met a ∈ Z en b ∈ Z − {0} kunnen we respectievelijk alle tellers
a en alle noemers b van een breuk maken. Hieruit volgt dat C = Q, oftewel
de verzameling van alle rationale getallen.
3
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller marjavdwind. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $5.36. You're not tied to anything after your purchase.
