Class notes
Aanvullende collegeaantekeningen week 6 - fundamenten van de wiskunde
- Course
- Institution
- Book
Aanvullende collegeaantekeningen die het boek verduidelijken.
[Show more]
Connected book
Book Title:
Author(s):
- Edition:
- ISBN:
- Edition:
Seller
Follow
marjavdwind
Reviews received
Content preview
H6.3n
• In voorbeeld 6.3.5 (op blz 204) staat dat er 22 mogelijkheden zijn. Dit kun je zien door
gebruik te maken van de stelling: als A en B eindige verzamelingen zijn, dan is het aantal ver-
schillende afbeeldingen van A naar B gelijk aan |B||A| . In het voorbeeld is B = {0, 1} en
A = {(x1 , x2 , . . . , xn )|xi ∈ {0, 1} en i ∈ N met 1 ≤ i ≤ n}. De stelling volgt uit de opmerking
dat je voor elk element van A precies |B| verschillende keuzes hebt om een element naar toe te
sturen.
• Er was een suggestie om opgave 6.3.4 met een substitutie te doen (n vervangen door n + 1).
Dat werkte niet. Echter aan het eind staat drie vraagtekens bij een pijl op het bord en is er al een
kleine verbetering gemaakt. Nu kun je het argument wel zo krijgen zodat het een bewijs gaat
opleveren. Het komt net als de andere twee bewijzen die gegeven worden op hetzelfde neer.
H6.5
• We zijn niet toegekomen aan opgave 6.5.10. Het idee is om een afbeelding te maken van
A × C → B × D. Je weet dat er bijecties zijn f : A → B en g : C → D. Hiermee maak je de
afbeelding h : A × C → B × D door (a, c) 7→ (f (a), g(c)). Bewijs nu dat g een bijectie is door
te bewijzen zien dat g zowel injectief is als surjectief.
• We zijn niet toegekomen aan opgave 6.5.7 (deze is lastiger dan opgave 6.5.10). Ook hier wil
je een afbeelding maken, in dit geval van P(A) naar P(B). Probeer een afbeelding te vinden
(wellicht door het eerst voor een voorbeeld te doen, zeg A = {1, 2} en B = {v, w} waarbij je al
een bijectie hebt gemaakt tussen A en B, en eventueel A = {1, 2, 3} en B = {v, w, x}). Op het
bord wordt een afbeelding gegeven. Bewijs nu dat je afbeelding een bijectie is door te bewijzen
zien dat je afbeelding zowel injectief is als surjectief.
• We hebben geschetst hoe je kunt laten zien dat Q aftelbaar is. Het argument met het plaatje
staat netjes getekend in figuur 6.7.1 op blz 241 (H6.7). De stelling wordt ook bewezen (Stelling
6.7.1 op blz 240). Op het bord hebben we (na een aantal verbeteringen) een injectieve functie
gemaakt van Q naar N. Het kwam neer op de volgende functie f : Q → N door x 7→ 2a · 3b · 5i
waarbij a, b ∈ Z met a ≥ 0, b > 0 en ggd(a, b) = 1 zo zijn dat |x| = ab en waarbij i gelijk is aan
4 4
0 als x ≥ 0 en i is gelijk aan 1 als x < 0. Bijvoorbeeld f (− 12 ) = 21 · 33 · 51 (want | − 12 | = 13
dus a = 1 en b = 3, en verder is i = 1 vanwege x < 0).
• We hebben geschetst hoe je kunt zien dat R overaftelbaar is. Het bewijs staat na stelling 6.7.3
(blz 242) en in figuur 6.72 zie je het diagonaalargument.
• Aan het eind noemde ik een populair artikel dat aansluit op de zogenaamde continuümhypothese
(bestaat er een verzameling V zodat V meer elementen dan N bevat maar minder elementen dan
R). Hier de link naar het artikel: https://www.quantamagazine.org/how-many-numbers-exist-
infinity-proof-moves-math-closer-to-an-answer-20210715/
1
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller marjavdwind. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $5.37. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
53340 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now