Operationele Beleidsmethoden - Voorbeeldexamen Oplossingen

Oplossingen voorbeeldexamen IOBM juni 2022


“Hieronder zijn de oplossingen, om jullie extra informatie aan te reiken bij eventuele problemen
die je ondervindt, soms uitvoeriger uitgeschreven dan op het examen verwacht wordt. Op het
examen wordt wel van je verwacht dat je de berekeningen en redenering die je uitvoert om je
eindresultaat te bekomen nauwkeurig genoeg uitschrijft om die redenering weer te geven. Het
eindresultaat alleen, zelfs als het correct is, zal niet geaccepteerd worden. Een antwoord
bekomen door trial and error zal niet aanvaard worden”.


Vraag 1

a. i. Noteer met y (t )  het aantal gram giftige stof dat in het reservoir van 300 liter aanwezig
is na t minuten.
Om de differentiaalvergelijking op te stellen, redeneren we als volgt.

Hoeveel gram giftige stof vloeit er, na t minuten, per minuut in het reservoir?
Drie liter vervuild water met 2 gram giftige stof per liter, bijgevolg vloeit er 6 gram
giftige stof per minuut in het reservoir.

Hoeveel gram giftige stof vloeit er, na t minuten, per minuut uit het reservoir? Drie liter
y(t ) y(t )
vervuild water met gram giftige stof per liter, bijgevolg vloeit er 3  gram
300 300
giftige stof per minuut uit het reservoir.


De graad van verandering van y (t ) (in gram per minuut), m.a.w. de afgeleide van y (t )
dy
die we als noteren, is dus gelijk aan:
dt

dy y (t )
 6 3 .
dt 300
dy
Deze differentiaalvergelijking kan herschreven worden als  0.01y(t )  6 .
dt
Beginvoorwaarde: y(0)  50 .


dy
ii. De differentiaalvergelijking  0.01y(t )  6 is van het type LD1CCCR met als
dt
dy
standaardvorm  ay  b . Omdat a  0 weten we dat de algemene oplossingen van
dt
deze differentiaalvergelijk y(t )  Ce 0.01t  600 is.
Door bovendien de beginvoorwaarde in rekening te brengen vinden we:
y(0)  50  C  550
De particuliere oplossing van de differentiaalvergelijking met beginvoorwaarde is dus:
y(t )  550e 0.01t  600 .


iii. Om deze limietwaarde te vinden, berekenen we lim y(t ) .
t  

 
lim y (t )  lim Ce 0.01 t  600  0  600  600 .
t   t  

Op lange termijn zal het water in het reservoir dus 600 gram giftige stof bevatten.

2y
b. Omdat de differentiaalvergelijking y    0 niet van het type LD1CCCR is, gaan we
300  t
na of ze van het type D1SV is. We kunnen de differentiaalvergelijking herleiden tot

, y 2

y 300  t
en stellen vast dat ze inderdaad van het type D1SV is.
We lossen deze vergelijking op als volgt:
1 2
 dy   
 dt
y  300  t

- Door linker- en rechterlid te integreren vinden we:

ln y  2 ln(300  t )  C .

Dit is een impliciete vergelijking van de algemene oplossing van de
differentiaalvergelijking. We kunnen deze expliciet maken en vinden:
C
y  .
300  t  2
C
- y  , y(0)  50  C  4 500 000 Door bovendien de beginvoorwaarde y (0)  50
300  t 
2



in rekening te brengen, vinden we C  4 500 000 en dus de expliciete vergelijking van de
particuliere oplossing:
4 500 000
y 
300  t 
2




Vraag 2
dy
 ty  3ty 2
dt
eerst herschrijven als
dy
 3ty 2  ty
dt
vervolgens als

dy
 ty  3y  1
dt
en ten slotte als
1 dy
t
y  3y  1 dt
wat aanleiding geeft tot
 1
 y  3y  1 dy   t dt .
  

De integraal in het linkerlid is via splitsing in partiële breuken te schrijven als
 1  3
 dy   dy . De integralen in linker- en rechterlid berekenen geeft
 y  3y  1

3y  1 t 2
ln   C1 .
y 2
Hieruit kunnen we de expliciete vergelijking
1
y(t )  t2
3  C  e2