Class notes
Cours III - Espaces prehilbertiens reels, Espaces euclidiens
- Course
- Institution
Vous trouverez ici un cours sur les espaces préhilbertiens réels, Espaces euclidiens
[Show more]
Seller
Follow
abelnezla
Content preview
UPHF - INSA HdF Licence Mathématiques2ème année - Semestre 4 année 21/22
Unité d’enseignement : Algèbre 4P
Cours : Chap III
Espaces préhilbertiens réels, Espaces euclidiens
Dans tout ce chapitre, on note E un R-espace vectoriel non réduit à {0E }.
Notez que dans un certain nombre de définitions et de propriétés il n’est pas nécessaire de supposer que la
dimension de E soit finie.
1 Espace préhilbertien réel
1.1 Produit scalaire sur un espace vectoriel réel
Définition 1 : On appelle produit scalaire sur E toute application φ : E 2 −→ R vérifiant les propriétés
:::::::::::::::::::
suivantes :
(a) si l’on note, pour x0 ∈ E, φ(x0 , .) : E −→ R , y 7−→ φ(x0 , y) et, pour y0 ∈ E,
φ(., y0 ) : E −→ R , x 7−→ φ(x, y0 ), alors φ(x0 , .) et φ(., y0 ) sont des formes linéaires sur E,
(b) ∀(x, y) ∈ E 2 , φ(x, y) = φ(y, x),
(c) ∀x ∈ E, φ(x, x) ≥ 0,
(d) ∀x ∈ E, φ(x, x) = 0 =⇒ x = 0E .
Exemples 2 :
Points de vocabulaire : Quand une application φ de E 2 dans R vérifie le deux premiers points de la
Définition 1, on dit qu’elle est une forme bilinéaire symétrique sur E.
:::::::::::::::::::::::::::::
En outre, à une forme bilinéaire symétrique sur E on associe l’application
Φ : E −→ R , x 7−→ φ(x, x),
que l’on appelle ::
la::::::
forme :::::::::::
quadratique :::
sur::
E::::::::
associée ::
à ::
φ.
Quand Φ vérifie les deux derniers points de la Définition 1, on dit qu’elle est définie-positive.
On dit que φ est :::::::::::::
définie-positive si la forme quadratique qui lui est associée est définie-positive.
Un produit scalaire est donc une forme bilinéaire symétrique, définie-positive sur E.
Remarque 3 :
Définitions 4 : Un espace :::::::::::
préhilbertien::::
réel est un couple (E, φ) où E est un R-espace vectoriel et φ est
un produit scalaire sur E.
Un ::::::
espace ::::::::
euclidien est un espace préhilbertien réel de dimension finie.
Notation : Si l’espace préhilbertien réel (E, φ) est fixé, on préfère noter son produit scalaire autrement. On
le note :
∀(x, y) ∈ E 2 , ⟨x, y⟩ = φ(x, y).
Dans toute la suite de ce chapitre, on se place dans un espace préhilbertien réel (E, ⟨., .⟩).
1
, 1.2 Propriétés principales d’un produit scalaire
Proposition 5 : Soient x et y deux vecteurs de E.
x = y ⇐⇒ ⟨x, ·⟩ = ⟨y, ·⟩ ⇐⇒ ∀z ∈ E, ⟨x, z⟩ = ⟨y, z⟩.
Proposition 6 : [Inégalité de Cauchy-Schwarz]
On a p p
∀(x, y) ∈ E 2 , |⟨x, y⟩| ≤ ⟨x, x⟩ ⟨y, y⟩ ,
avec l’égalité qui se produit si et seulement si x et y sont liés.
Proposition 7 : [Inégalité de Minkowski]
On a p p p
∀(x, y) ∈ E 2 , ⟨x + y, x + y⟩ ≤ ⟨x, x⟩ + ⟨y, y⟩,
avec l’égalité qui se produit si et seulement s’il existe λ ∈ R+ tel que x = λy ou y = λx.
1.3 La structure d’espace vectoriel normé associée à la structure d’espace
préhilbertien réel
Définition 8 : Si F est un R-espace vectoriel, on appelle norme sur F toute application N : F −→ R+ ,
:::::::::::
vérifiant :
(a) ∀x ∈ F , N (x) = 0 =⇒ x = 0F , (::::::
axiome:::
de::::::::::
séparation)
(b) ∀x ∈ F, ∀λ ∈ R , N (λx) = |λ| N (x), (::::::
axiome::::::::::::::
d’homogénéité)
2
(c) ∀(x, y) ∈ F , N (x + y) ≤ N (x) + N (y). ( axiome de l’inégalité triangulaire)
:::::::::::::::::::::::::::::
Le couple (F, N ) est appelé espace vectoriel normé.
::::::::::::::::::::
p
Proposition-Définition 9 : L’application ∥.∥ : E → R+ , x 7−→ ⟨x, x⟩ est une norme, dite ::::::
norme
associée au produit scalaire ⟨., .⟩. Autrement dit, ∥.∥ vérifie :
::::::::::::::::::::::::::::
(a) ∀x ∈ E , ∥x∥ = 0 =⇒ x = 0E ,
(b) ∀x ∈ E , ∀λ ∈ R , ∥λx∥ = |λ| ∥x∥ ,
(c) ∀(x, y) ∈ E 2 , ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥.
Remarque 10 :
Proposition 11 : On a les relations suivantes entre le produit scalaire de E et la norme qui lui est
associée.
1 1
∀(x, y) ∈ E 2 , ⟨x, y⟩ = (∥x + y∥2 − ∥x∥2 − ∥y∥2 ) = (∥x + y∥2 − ∥x − y∥2 ).
2 4
2 Orthogonalité
2.1 Définitions et relation fondamentale
Définition 12 : Deux vecteurs x et y de E sont dits orthogonaux,
:::::::::::
et on note alors x ⊥ y, si
⟨x, y⟩ = 0.
2
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller abelnezla. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $7.06. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
62890 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now