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Cours III - Espaces prehilbertiens reels, Espaces euclidiens
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Vous trouverez ici un cours sur les espaces préhilbertiens réels, Espaces euclidiens
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abelnezla
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UPHF - INSA HdF Licence Mathématiques2ème année - Semestre 4 année 21/22
Unité d’enseignement : Algèbre 4P
Cours : Chap III
Espaces préhilbertiens réels, Espaces euclidiens
Dans tout ce chapitre, on note E un R-espace vectoriel non réduit à {0E }.
Notez que dans un certain nombre de définitions et de propriétés il n’est pas nécessaire de supposer que la
dimension de E soit finie.
1 Espace préhilbertien réel
1.1 Produit scalaire sur un espace vectoriel réel
Définition 1 : On appelle produit scalaire sur E toute application φ : E 2 −→ R vérifiant les propriétés
:::::::::::::::::::
suivantes :
(a) si l’on note, pour x0 ∈ E, φ(x0 , .) : E −→ R , y 7−→ φ(x0 , y) et, pour y0 ∈ E,
φ(., y0 ) : E −→ R , x 7−→ φ(x, y0 ), alors φ(x0 , .) et φ(., y0 ) sont des formes linéaires sur E,
(b) ∀(x, y) ∈ E 2 , φ(x, y) = φ(y, x),
(c) ∀x ∈ E, φ(x, x) ≥ 0,
(d) ∀x ∈ E, φ(x, x) = 0 =⇒ x = 0E .
Exemples 2 :
Points de vocabulaire : Quand une application φ de E 2 dans R vérifie le deux premiers points de la
Définition 1, on dit qu’elle est une forme bilinéaire symétrique sur E.
:::::::::::::::::::::::::::::
En outre, à une forme bilinéaire symétrique sur E on associe l’application
Φ : E −→ R , x 7−→ φ(x, x),
que l’on appelle ::
la::::::
forme :::::::::::
quadratique :::
sur::
E::::::::
associée ::
à ::
φ.
Quand Φ vérifie les deux derniers points de la Définition 1, on dit qu’elle est définie-positive.
On dit que φ est :::::::::::::
définie-positive si la forme quadratique qui lui est associée est définie-positive.
Un produit scalaire est donc une forme bilinéaire symétrique, définie-positive sur E.
Remarque 3 :
Définitions 4 : Un espace :::::::::::
préhilbertien::::
réel est un couple (E, φ) où E est un R-espace vectoriel et φ est
un produit scalaire sur E.
Un ::::::
espace ::::::::
euclidien est un espace préhilbertien réel de dimension finie.
Notation : Si l’espace préhilbertien réel (E, φ) est fixé, on préfère noter son produit scalaire autrement. On
le note :
∀(x, y) ∈ E 2 , ⟨x, y⟩ = φ(x, y).
Dans toute la suite de ce chapitre, on se place dans un espace préhilbertien réel (E, ⟨., .⟩).
1
, 1.2 Propriétés principales d’un produit scalaire
Proposition 5 : Soient x et y deux vecteurs de E.
x = y ⇐⇒ ⟨x, ·⟩ = ⟨y, ·⟩ ⇐⇒ ∀z ∈ E, ⟨x, z⟩ = ⟨y, z⟩.
Proposition 6 : [Inégalité de Cauchy-Schwarz]
On a p p
∀(x, y) ∈ E 2 , |⟨x, y⟩| ≤ ⟨x, x⟩ ⟨y, y⟩ ,
avec l’égalité qui se produit si et seulement si x et y sont liés.
Proposition 7 : [Inégalité de Minkowski]
On a p p p
∀(x, y) ∈ E 2 , ⟨x + y, x + y⟩ ≤ ⟨x, x⟩ + ⟨y, y⟩,
avec l’égalité qui se produit si et seulement s’il existe λ ∈ R+ tel que x = λy ou y = λx.
1.3 La structure d’espace vectoriel normé associée à la structure d’espace
préhilbertien réel
Définition 8 : Si F est un R-espace vectoriel, on appelle norme sur F toute application N : F −→ R+ ,
:::::::::::
vérifiant :
(a) ∀x ∈ F , N (x) = 0 =⇒ x = 0F , (::::::
axiome:::
de::::::::::
séparation)
(b) ∀x ∈ F, ∀λ ∈ R , N (λx) = |λ| N (x), (::::::
axiome::::::::::::::
d’homogénéité)
2
(c) ∀(x, y) ∈ F , N (x + y) ≤ N (x) + N (y). ( axiome de l’inégalité triangulaire)
:::::::::::::::::::::::::::::
Le couple (F, N ) est appelé espace vectoriel normé.
::::::::::::::::::::
p
Proposition-Définition 9 : L’application ∥.∥ : E → R+ , x 7−→ ⟨x, x⟩ est une norme, dite ::::::
norme
associée au produit scalaire ⟨., .⟩. Autrement dit, ∥.∥ vérifie :
::::::::::::::::::::::::::::
(a) ∀x ∈ E , ∥x∥ = 0 =⇒ x = 0E ,
(b) ∀x ∈ E , ∀λ ∈ R , ∥λx∥ = |λ| ∥x∥ ,
(c) ∀(x, y) ∈ E 2 , ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥.
Remarque 10 :
Proposition 11 : On a les relations suivantes entre le produit scalaire de E et la norme qui lui est
associée.
1 1
∀(x, y) ∈ E 2 , ⟨x, y⟩ = (∥x + y∥2 − ∥x∥2 − ∥y∥2 ) = (∥x + y∥2 − ∥x − y∥2 ).
2 4
2 Orthogonalité
2.1 Définitions et relation fondamentale
Définition 12 : Deux vecteurs x et y de E sont dits orthogonaux,
:::::::::::
et on note alors x ⊥ y, si
⟨x, y⟩ = 0.
2
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