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FICHE TD3 Espaces euclidiens
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Vous trouverez ici une fiche de TD sur les espaces euclidiens
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abelnezla
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UPHF - INSA HdFLicence Mathématiques
2ème année - Semestre 4 année 21/22
Unité d’enseignement : Algèbre 4P
Fiche de TD n°3 : Espaces euclidiens
Exercice 1 : On note A une partie non vide d’un espace préhilbertien réel.
Montrer que A⊥ est un sous-espace vectoriel de E.
Exercice 2 [caractérisation de l’orthogonalité de deux sev de dimensions finies]
Soient (E, φ) un espace préhilbertien réel, A et A′ deux sous-espaces vectoriels de E, de dimensions
finies respectives k ≥ 1 et l ≥ 1, et B = (ei )1≤i≤k et B ′ = (e′j )1≤j≤l deux bases respectives de A
et de A′ .
Montrer que
A ⊥ A′ ⇐⇒ ∀(i, j) ∈ [[1, k]] × [[1, l]] , ei ⊥ e′j .
Exercice 3
1) Rappeler l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace euclidien quelconque (E, ⟨. , . ⟩).
2) Soit n un nombre entier supérieur à 1 et soient x1 , x2 . . . , xn , n nombres réels.
Montrer l’inégalité
n
!2 n
X X
xk ≤n x2k ,
k=1 k=1
en appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans l’espace euclidien Rn , muni de son produit
scalaire usuel, à deux vecteurs x et y bien choisis, que vous préciserez.
Exercice 4 [DS mai 2021]
Soit (E, < . , . >) un espace euclidien de dimension n ≥ 2, et soit F un sous espace vectoriel de
E, non égale à E et non réduit à {0E } .
On note p la projection orthogonale de E sur F , c’est-à-dire la projection sur F parallèlement à
F ⊥.
1) Lequel des deux nombres ∥x∥ et ∥p(x)∥ est toujours supérieur ou égale à l’autre quel que soit
x ∈ E ? Justifier votre réponse.
2) Dans quel cas a-t-on l’égalité ∥p(x)∥ = ∥x∥ ?
Exercice 5 : On considère les trois vecteurs suivants de R4 :
u1 = (1, 1, 1, 1) , u2 = (1, 2, 2, −1) , u3 = (4, 0, 0, 0) .
1) Vérifier que la famille {u1 , u2 , u3 } est une famille libre.
On note F =vect({u1 , u2 , u3 }).
2) On considère le produit scalaire φ sur F , induit par le produit scalaire usuel de R4 .
Calculer, par le procédé de Gram-Schmidt, une base orthonormale de (F, φ), à partir de la base
(u1 , u2 , u3 ).
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