Summary
Samenvatting Statistiek I (semester 2)
- Course
- Institution
Samenvatting van statistiek I, lessen semester 2 2023.
[Show more]
Seller
Follow
nikavandenbergh
Reviews received
Content preview
StatistiekKansberekening
Basisbegrippen
Belang:
- Probalistische ingestelde wereld begrijpen
➢ Verzekering, vergoedingen, ...
- Uitspraken doen over de populatie over een populatie op basis van een steekproef
Beschrijvende statistiek = beschrijven van gegevens m.b.v. tabellen, grafieken en kengetallen
Semester 1
Inferentiële statistiek = op basis van gegevens uitspraken doen over populatie
Semester 2
Symbolen uit verzamelingenleer
- Verzameling = geheel van objecten, voldoen aan bepaalde voorwaarden
➢ A = {1, 2}
- Unie van twee verzamelingen A en B = alle elementen die in A of B zitten
➢ A ꓴ B → A = {1,2} en B = {oneven} → {1, 2, oneven}
- Doorsnede van twee verzamelingen A en B = alle elementen die in A en B zitten
➢ A ꓵ B → A = {1,2} en B = {oneven} → {1}
- A = deelverzameling van B wanneer ze een deel van de elementen van B bevat
➢ A ⊂ B → A = {1,2} en B = {1,2,3,4}
- Disjuncte verzameling = verzamelingen die geen gemeenschappelijke elementen bevatten
➢ A ∩ B = ∅ → A = {1} en B = {2, 4, 6}
- Verschil van twee verzameling A en B = verzameling van alle elementen van A die niet in B
➢ A \ B → A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} en B = {2, 4, 6} → A \ B = {1,3,5}
Stochastisch proces = onzekere uitkomst
- = kansexperiment deterministische proces
- Vb. dobbelsteen, betrokkenheid bij ongeval, ...
- (groep van) uitkomsten van dit proces = toevalsgebeuren
➢ Elementair = bevat 1 uitkomst (vb. 1 gooien)
➢ Samengesteld = betrekking op meerdere uitkomsten (vb. even gooien)
➢ Uitkomstenruimte (S) = verzameling alle mogelijke elementaire uitkomsten
Toevalsgebeuren A = deelverzameling uit de uitkomstenruimte S
- Elementaire toevalsgebeuren = disjunct (geen overlap)
- Uitkomstenruimte S = exhaustief (alle mogelijke gebeurtenissen)
- Complement van toevalsgebeuren A = alle elementaire toevalsgebeurens in S → niet gelijk aan A
➢ Ac = S \ A → A = {1}, dan 𝐴c = {2, 3, 4, 5, 6}
Machtsverzameling M(S) = verzameling van alle mogelijke deelverzamelingen van S
- S = {1, 2, 3} → deelverzamelingen: ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3}
- M(S)={Ø,{1},{2},{3},{1,2}, {2, 3}, {1,3}, {1,2,3}}
- #S = n ➔ #M(S) = 2n
,Kansdefinitie
Een kans P(G) = waarschijnlijkheid dat de gebeurtenis G zal optreden, uitgedrukt in een getal tussen 0 en 1
- P = probability = functie die met elke gebeurtenis G een reëel getal associeert
4 kansdefinities:
1. Subjectieve kansdefinitie = gokkans
➢ Gebaseerd op ervaring, vaag, ...
➢ Vb. kans om lotto te winnen = klein, kans om ongeval te hebben in vliegtuig = groot
2. Empirische kansdefinitie = zweetkans
➢ Waarden bekijken aan de hand van ‘uit proberen’
➢ Vb. dobbelsteen gooien → kans om 2 te gooien vergoot hoe vaker men gooit
➢ 𝑃 (𝐴) = lim 𝑛→∞ (fi / 𝑛) → als je oneidig gooit = limietwaarde = empirische kans
➢ Wet van de grote getallen
3. Theoretische kansdefinitie van Laplace = weetkans
➢ P(A) = #gunstige / #mogelijke = #A / #S
➢ Veronderstelling = alle uitkomsten zijn even plausibel
➢ Oefeningen:
• Vb. kans om 2 te gooien bij EERLIJKE dobbelsteen = 1/6
• Vb. kans om minstens 5 te gooien = 2/6 = 1/3
• Vb. kans om 12 te gooien met 2 dobbelstenen = 1/36 (1/6 * 1/6)
De reële functie P moet voldoen aan 3 axioma’s
1. 0 ≤ P(A) ≤ 1
2. P(S) = 1
3. Als A en B disjuncte gebeurtenissen zijn (A ∩ B = ø): P (A U B) = P(A) + P(B)
Rekenregels kansrekening
Complementregel
Vb. De kans dat je geen 6 gooit
- Lange manier: kans van 1 + kans van 2 + kans van 3 + kans van 4 + kans van 5
- Korte manier: 1 – kans van 6
Complementregel: P(Ac) = 1 – P(A)
Somregel
Vb. (1) de kans dat iemand 5 of 6 zal gooien
1. A en B ≠ disjunct
➢ Individuele kansen optellen
➢ Vertrekken van totale kansen: P(A U B)= P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
2. A en B = disjunct → P (A U B) = P(A) + P(B)
Vb. 6 koks en 8 obers → 4 vrouwelijke obers en 1 vrouwelijke kok ➔ kans dat het een kok is OF een vrouw
- 6/14 + 5/14 – 1/14 = 10/14
,Productregel
Vb. kans dat je 3 gooit EN daarna kop met een muntje
1. Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B)= P(A) * P(B)
2. Afhankelijke gebeurtenissen
➢ Individuele kansen bekijken
➢ Vertrekken van totale kansen: P(A ∩ B) = P(A|B).P(B) OF = P(B|A).P(A)
De voorwaardelijke kans P(A|B) = de kans op A, als B
- Kans voor specifieke subgroep
- Voorwaardelijke kans = a posteriori kans ( a priori = algemene kans)
≠ doorsnede ( A EN B A ALS B)
Regel voorwaardelijke kans
Herleiding vanuit productregel
- P(A|B) = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 / 𝑃(𝐵)
- P(B|A) = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 / 𝑃(𝐴)
Overzicht rekenregels
Vervolg axiomatische kansregels
Overzicht rekenregels:
- Complementregel = P(𝐴) = 1 - P(A) [uitsluiten]
- Somregel = P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) [OF]
➢ Speciaal geval: A en B = disjunct: P(A U B)= P(A) + P(B)
- Productregel = P(A ∩ B) = P(A|B).P(B) = P(B|A).P(A) [EN]
➢ Speciaal geval: A en B = onafhankelijk: P(A ∩ B) = P(A).P(B)
➢ | = als → voorwaardelijk → A als B
Regel voorwaardelijke kans
P(A|B) = (𝑃 𝐴 ∩ 𝐵) / 𝑃(𝐵)
Afleiding van productregel
P(B|A) = (𝑃 𝐴 ∩ 𝐵) / 𝑃(𝐴)
Regel totale kans
Regel totale kans bij dichotome variabele B: P(A) = P(A|B) . P(B) + P(A|BC ) . P(BC )
Oefening: 60% gehuwd (3x man) + 25% alleenstaand (3x man) + 15% samenwonend (3x vrouw)
, Regel van Bayes
Causaliteit omkeren: P(A|B) berekenen op basis van P(B|A)
voorwaardelijke kans
productregel
regel van de totale kans
oefening: P(G|M) = ?
- = P(M|G) * P(G) / P(M)
- = 3/4 * 3/5 / P(M|G).P(G) + P(M|A).P(A) + P(M|Sa).P(Sa)
- = (3/4 * 3/5) / (54/80)
- = 2/3
Overzicht nieuwe rekenregels
Driedeurenprobleem
Verlies verlies Winst
1e scenario = kiezen voor winst → tonen een verlies → wisselen van keuze = verlies
2e scenario = kiezen voor verlies 1 → tonen verlies 2 → wisselen van keuze = winst
3e scenario = kiezen voor verlies 2 → tonen verlies 1 → wisselen van keuze = winst
Wisselen van keuze > blijven bij keuze
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller nikavandenbergh. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $6.98. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
52510 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now