Cette fiche résume le concept fascinant de la structure algébrique. En parcourant ses pages, vous découvrirez les fondements et les principes clés de l'algèbre, ainsi que les différentes structures qui en découlent. De la théorie des groupes à celle des anneaux et des corps, vous explorere...
, Définition On toute abstraction
entend structure
algébrique
• :
par
des structures de calcul standart que vous avez pu rencontrer .
On va
I.
aborder
Anneaux
3 chapitres
factoriels
:
euclidiens et corps
}
, .
les
2.
Algèbre linéaire sur esp .
rect .
Sur un corps .
3. Groupes et
symétrie .
C'est étudier les relations de divisibilité entre entiers
Définition Divisibilité
}
sur Z
:
*
l
Un élément K E Z divise un entier m E Z S' il existe un entier C- Z
tq
m
Pour parler de division
• :
*
produit
→
addition ( + et * )
* entier se divise lui -
même ( 1 ✗ a
=
a x n )
*
que le diviseur de deux nomb diviseurs de la somme ( acb + c) =
ab tac )
1. La notion d' anneau
Définition
Un anneau est un triplet CA , +
,
_ ) composé
•
d' un ensemble A contenant deux éléments spéciaux 0 et 1
,
qu' on appelle resp .
élément neutre pour l' addition et éteint
neutre pour la multiplication .
•
et de 2 Opérations binaires A ✗ A → A + et ,
resp .
appelé addition
et multiplication .
qui satisfont pour l' addition .
{
( assiociativité) fa ,
b, C E A a + Cbt c) =
( a + b) + c
,
Groupe ( 7 neutre ) ta c- A
,
at o
=
☐ + a =
a
( inversibilité ) ta c- A ,
J C- a) C- A tq a + C- a) =
C- a) + a
=
0
Abélien →
( commutativité ) fa ,
b C- A ,
a + b =
b. + a
la multiplication
pour
( associativité ) fa , b, C C- A
,
a. ( b. c) =
(a .
b) •
C
( J neutre ) ta c- A a. 1
=
1
.
a
=
a ( 0A # 1A )
,
1.
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