Summary

Résumé Structure Algébrique 2

0 purchase

Course
Structure Algébrique

Institution
EPITA

Cette fiche est une suite qui résume le concept de la structure algébrique. En parcourant ses pages, vous découvrirez un recap sur les espaces vectoriels, sur les applications linéaires ainsi que de la réduction.

[Show more]

Preview 2 out of 8 pages

View example

Uploaded on June 14, 2023
Number of pages 8
Written in 2021/2022
Type Summary

structurealgébrique
mathématiques
algèbre
groupes
anneaux
corps
opérationsalgébriques
théoriedesgroupes
théoriedesanneaux
théoriedescorps
algèbreabstraite
loisalgébriques
algèbrelinéaire
algèbrecommut

Institution
EPITA
Education
Informatique
Course
Structure Algébrique

$5.72

Also available in package deal from $8.64

Add to cart

Save

100% satisfaction guarantee
Immediately available after payment
Both online and in PDF
No strings attached

Also available in package deal (1)

Structure Algébrique

$ 11.43 $ 8.64 2 items

1. Summary - Structure algébrique 1
2. Summary - Structure algébrique 2
Show more

^
Rappels sur les espace vectoriels

Définition

Un espace vectoriel sur un corps 1K est un triplet ( V
,
+, .
) OÙ

•
V est un ensemble

+ est une opération interne Vxv →
v est appelé addition
•

est opération externe IKXV →
v appelé multiplication par scalaire
• .

une un

tq I .
Ku ,
v ,
w E V
,
u + Cv + w ) =
( u + v ) + w

2. 70 C- V
,
tu C- V
,
V + 0
=
0 tu
=
✓

KV E Z V
tq
=
3. V W E ✓ + w W tu =
0
,

4 Fr
t
E V
=
W W tu v + w
,
.

,

5. tt
, µ C- 1K tu c- V
,
X . (µ V ) =
( ✗µ) . ✓
,
.

6 FV E V 1 V -
=
V
,
.

.

7. V1 E IK HVEV, (✗ +
µ) V ✗ v + µ ✓
µ
=
-

,
- .

,

8. KX C- 1K
,
Kv ,
w E V
,
X .

(✓ + w ) =
✗ ✓ .
+ ✗ .
W

-

l Les
génériques
:

.

"
•
Les IR -

espaces vectoriels
:
Rn ,
R [ ×] ,
IRN ,
c ( [ 0,1 ] , IR ) . .

"
•
Les 1k -

espaces vectoriels :
1km
,
1K [ ×] ,
IKN ,
E

2. Des choses que vous avez déjà croisées

Le ¢ espace vectoriel des fonctions périodiques IR à valeurs dans ¢
•
-

sur .

•
Le R -

espace vectoriel ¢ ,
les Q -

espaces vectoriels ☒ [i] , ☒ [ F2 ]

Définition
_

Une base d' une 1K -

espace vectoriel V est une famille ( ei ) de vecteurs de

V
tq
:
ttx c- V il existe une unique famille de scalaires ( ti ) d' éléments de

1K dt seul un nb fini d' ④ émts est non nul et

✗
Exjej
=

Théorème
-

Tout IK espace vectoriel admet des bases
-

Définition

On appelle dimension d' un 1K -

espace vectoriel le cardinal commun de ses bases
]
Exemple : "
1km est un 1K -

espace vectoriel de dimension n

¢ clim dim
☐
est un ¢ -

esp . rect .
de 1 mais IR -

espace rect .
de 2 .

☐ 1kW est un 1K -

espace vectoriel de dimension infinie

, 2
Rappels sur les applications linéaires

Définition
-

Une application UK -

linéaire ) entre 2 K -

esp .
rect .
V, W est une application

f- :
✓ → w
tq
> × C- V f- ( ✗ + ) =
f- ( x) t f- ( y )
, y , y
>
FX E IK FX E V FCN ) =
✗ f- [ × )
, ,

-

Qd les 1K espaces vectoriels V et W dim finies de taille ( mm )
→
-

sont n
,
m matrice

M
=
[ f- (
Vj ) i ] des coordonnées des Fcvj ) dans la base (Wi ) i
ij
Fx =
MX

Théorème
.

L' application Q :
Lik ( V , W) →
M.mn ( IK )

f-
→
Mu , w (f)

envoie F matrice dans les bases V W est un isomphisme
qui sur sa
,

3
Rappel de réduction

Définition
-

Soit f V
endomorphisme On valeur de F tt
→
appelle ✗ Elk
:
v un .

propre

lequel f- ( )
il existe ✗ =/ 0
tq ✗×
=

pour x

Un vecteur satisfait la relation dessus est dit
✗
qui ci vecteur propre
-

de F associé à la valeur propre × .

Les valeurs propres sont les racines Xfct)
=
det ( MF -

ti )

Diagonaliser un
endomorphisme F revient a- trouver une base ( ui ) i de ✓

constituer de valeurs propres .

On sait que F est
diagonalisable
:

•

si XF est scindé à racines simples
F matrice
si admet symétrique
•

une

Théorème -

F
Un endomorphisme sur 1K espace vectoriel est
trigonal isable Ssi ✗f scindé sur 1k
-

The benefits of buying summaries with Stuvia:

Guaranteed quality through customer reviews

Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.

Quick and easy check-out

You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.

Focus on what matters

Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!

Frequently asked questions

What do I get when I buy this document?

You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.

Satisfaction guarantee: how does it work?

Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.