Summary
Sumario Breve resumen sobre geometría fractal
- Course
- Institution
un breve resumen sobre los conceptos básicos para una introducción fácil a la geometría fractal y a al belleza que esta representa en las matemáticas.
[Show more]
Seller
Follow
hersonssc
Content preview
Seminario Páginas 1–22022
Geometria Fractal
Herson Suárez
Seminario
Universidad Industrial de Santander
Diciembre, 2022
Palabras clave: Fractal, Funcion, Curva, Conjunto
ÍNDICE Una propiedad interesante de esta función es su condición fractal. Si bien
su gráfico no es rigurosamente auto semejante, la dimensión del mis-
Índice 1 mo gráfico no es uno ni dos. De hecho la dimensión de Hausdorff está
acotada inferiormente por:
1. Introducción 1
log(a)
2. Función de Weierstrass 1 log(b) + 1
3. Fractales 1 y se cree que ese sea su valor.
3.1. Curva de Koch y la longitud infinita . . . . . . . . . . . 1
3.2. Carpeta de Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.3. Menger y el cubo (Esponja de Menger) . . . . . . . . . 2 3. FRACTALES
Definición: Un fractal es una figura geométrica auto semejante con
4. Conjuntos de Julia y Mandelbrot 2 área finita, pero perı́metro infinito. Es un objeto cuya estructura se repite
a diferentes escalas, si nos acercamos o alejamos del objeto siempre ob-
5. Conclusiones 2
servaremos la misma estructura.
Referencias 2
En la naturaleza encontramos muchos objetos que, debido a su estruc-
tura, son fractales naturales, que comúnmente no los reconocemos. Las
nubes, las montañas, los árboles y los rı́os son fractales naturales, aunque
1. INTRODUCCIÓN finitos, por lo tanto, no ideales.
Muchos fractales son objetos cuya estructura se repite a diferentes
escalas, es decir, tienen la propiedad de la autosimilitud. Una figura 3.1. Curva de Koch y la longitud infinita
geométrica es autosimilar si, al observar una de sus partes con una lupa,
En 1904 el suizo Helge von Koch produjo la siguiente curva, cuya
reconocemos la forma de la figura completa. Sin embargo, hay objetos
regla de construcción se muestra en la figura de la parte inferior: dado
fractales que no tienen autosimilitud y, por tanto, es necesario utilizar el
un segmento se divide este en tres de igual longitud y se sustituye el del
término ”dimensión”. Si una lı́nea recta tiene dimensión uno y un plano
centro por otros iguales que él colocados en forma de ángulo. La curva de
tiene dimensión dos, los fractales se comportan de forma diferente: son
Koch es el resultado de llevar el proceso al lı́mite, y uno de los ejemplos
más que lı́neas y al mismo tiempo menos que planos. Por eso decimos
más conocidos de atractores de IFS.
que su dimensión es fractal o no entera.
2. FUNCIÓN DE WEIERSTRASS
La función de Weierstrass es una función definida por el matemáti-
co Karl Weierstrass. Está definida en la recta y toma valores reales. Es
una función continua en todo punto y no es derivable o diferenciable en
ninguno. La función de Weierstrass fue la primera conocida con esta pro-
piedad. De este modo, Weierstrass mostró que era falsa la conjetura que
circulaba en aquella época que afirmaba que las funciones continuas eran Figura 1: Construcción de la curva de Koch
diferenciables salvo en puntos aislados. La función, tal como la definió
La curva de Koch tiene las siguientes propiedades:
Weierstrass, es la siguiente:
∞
X Tiene una longitud infinita porque a cada paso hay cuatro veces más
f (x) = an cos(bn πx) segmentos que en la anterior, y la longitud de cada uno es una tercera
n=0 parte del segmento anterior.
Ln(4)
donde 0 < a < 1, b es un entero impar y positivo y cumplen que La dimensión fractal es D = = 1,26 mayor que la dimen-
Ln(3)
3 sión de una recta (1) y menor que la dimensión que llena el plano
ab > 1 + π (2).
2
Submitted to the University of Birmingham 1
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller hersonssc. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $6.49. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
64438 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now