Wiskunde: Functies van de tweede graad
1. FUNCTIES VAN DE TWEEDE GRAAD
1.1 Wat is een functie van de tweede graad?
Definitie
Een functie van de tweede graad is een functie f met voorschrift f(x) = ax² + bx + c waarbij a, b en c
reële getallen zijn en a verschillend is van nul.
1.2 De grafiek van een tweedegraadsfunctie tekenen
Domein en bereik
Het domein bij alle tweedegraadsfuncties is . Het bereik hangt van parabool af. Dit is van het
laagste punt op de y-as tot het oneindige, of omgekeerd.
Nulwaarden en tekentabel
Bij alle tweedegraadsfuncties zijn er 2 nulwaarden en dus nulpunten. Als de functie door de
oorsprong gaat en dit als laagste of hoogste punt heeft, is dit de enige nulwaarde! In de tekentabel
zijn er altijd de nulpunten van de functie, omringd door de tekens van de grafiek van die functie.
Toppen en verloopschema
Elke tweedegraadsfunctie heeft 1 top. Bij een dalparabool is dat een minimumtop, bij een
bergparabool is dat een maximumtop. Een top is het hoogste of het laagste punt van de grafiek.
Een grafiek van een tweedegraadsfunctie is symmetrisch opgebouwd. Doordat je de top van een
grafiek hebt, kun je de vergelijking van de symmetrieas vinden, want deze is x = x-waarde van top.
in een verloopschema is er de top van de grafiek en ook 2 pijlen, stijgend en dalend. Zo weten we tot
waar de grafiek stijgt of daalt, en vanaf waar de grafiek daalt of stijgt.
1.3 Gemiddelde verandering over een interval
Differentiequotiënt
Met het differentiequotiënt krijg je een maatgetal dat de gemiddelde verandering in een bepaald
interval weergeeft. Het differentiequotiënt bereken je als volgt:
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒 𝑡𝑜𝑒𝑛𝑎𝑚𝑒 ∆h(x)
=
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑡𝑜𝑒𝑛𝑎𝑚𝑒 ∆x
2. DE GRAFIEK VAN f(x) = ax² (met a ∈ 0)
2.1 De elementaire tweedegraadsfunctie f met voorschrift f(x) = x²
Domein en bereik
dom f = en ber f = [0, +∞[
Nulwaarden en tekentabel
Nulwaarde is hier 0. De tekentabel bij deze functie ziet er zo uit:
Top en verloopschema
De top van deze grafiek is een minimumtop 0. Het verloopschema ziet er zo uit:
De vergelijking van de symmetrieas van deze grafiek is: x = 0
1. FUNCTIES VAN DE TWEEDE GRAAD
1.1 Wat is een functie van de tweede graad?
Definitie
Een functie van de tweede graad is een functie f met voorschrift f(x) = ax² + bx + c waarbij a, b en c
reële getallen zijn en a verschillend is van nul.
1.2 De grafiek van een tweedegraadsfunctie tekenen
Domein en bereik
Het domein bij alle tweedegraadsfuncties is . Het bereik hangt van parabool af. Dit is van het
laagste punt op de y-as tot het oneindige, of omgekeerd.
Nulwaarden en tekentabel
Bij alle tweedegraadsfuncties zijn er 2 nulwaarden en dus nulpunten. Als de functie door de
oorsprong gaat en dit als laagste of hoogste punt heeft, is dit de enige nulwaarde! In de tekentabel
zijn er altijd de nulpunten van de functie, omringd door de tekens van de grafiek van die functie.
Toppen en verloopschema
Elke tweedegraadsfunctie heeft 1 top. Bij een dalparabool is dat een minimumtop, bij een
bergparabool is dat een maximumtop. Een top is het hoogste of het laagste punt van de grafiek.
Een grafiek van een tweedegraadsfunctie is symmetrisch opgebouwd. Doordat je de top van een
grafiek hebt, kun je de vergelijking van de symmetrieas vinden, want deze is x = x-waarde van top.
in een verloopschema is er de top van de grafiek en ook 2 pijlen, stijgend en dalend. Zo weten we tot
waar de grafiek stijgt of daalt, en vanaf waar de grafiek daalt of stijgt.
1.3 Gemiddelde verandering over een interval
Differentiequotiënt
Met het differentiequotiënt krijg je een maatgetal dat de gemiddelde verandering in een bepaald
interval weergeeft. Het differentiequotiënt bereken je als volgt:
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒 𝑡𝑜𝑒𝑛𝑎𝑚𝑒 ∆h(x)
=
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑡𝑜𝑒𝑛𝑎𝑚𝑒 ∆x
2. DE GRAFIEK VAN f(x) = ax² (met a ∈ 0)
2.1 De elementaire tweedegraadsfunctie f met voorschrift f(x) = x²
Domein en bereik
dom f = en ber f = [0, +∞[
Nulwaarden en tekentabel
Nulwaarde is hier 0. De tekentabel bij deze functie ziet er zo uit:
Top en verloopschema
De top van deze grafiek is een minimumtop 0. Het verloopschema ziet er zo uit:
De vergelijking van de symmetrieas van deze grafiek is: x = 0
