Dit document is een samenvatting van 'Module 4; driehoeksmeting in willekeurige driehoeken', uit het boek 'NANDO 4D' voor het vak Wiskunde in het GO! Onderwijs in de doorstroomfinaliteit/ASO.
1. Cosinusregel en sinusregel voor willekeurige driehoeken
1.1 Cosinusregel
Definitie
De cosinusregel geeft het verband weer tussen de 3 zijden van een driehoek en de cos van een hoek.
Formules
a² = b² + c² - 2bc ⋅ cos Â
̂
b² = a² + c² - 2ac ⋅ cos B
c² = a² + b² - 2ab ⋅ cos Ĉ
Gebruik
De cosinusregel wordt gebruikt om de lengte van de derde zijde van een driehoek te berekenen als
de lengte van beide andere zijden en de grootte van hun ingesloten hoek gekend zijn.
Bewijs
Gegeven: ΔABC is rechthoekig
Te bewijzen: a² = b² + c² - 2bc ⋅ cos Â
Bewijs:
- Teken de hoogtelijn [BD]
- ΔBCD is rechthoekig, er geldt:
a² = |BD|² + |DC|² -> |DC| = b - |AD|
a² = |BD|² + (b - |AD|)² -> merkwaardig product: (A – B)² = a² - 2ab + b²
a² = |BD|² + b² - 2b ⋅ |AD| + |AD|² -> stelling van Pythagoras in ΔBAD (c² = |BD|² + |AD|²)
|AD|
a² = b² + c² - 2b ⋅ |AD| -> in ΔBAD: cos  = of |AD| = c ⋅ cos Â
c
a² = b² + c² - 2bc ⋅ cos  -> a² = b² + c² - 2bc ⋅ cos  = a² = b² + c² - 2bc ⋅ cos Â
1.2 Sinusregel
Definitie
In elke driehoek zijn de zijden evenredig met de sinussen van de overstaande hoeken. Dit noemen
we de sinusregel.
Formule
a b c
= ̂ = ̂
sin  sin B sin C
Gebruik
De sinusregel wordt gebruikt om de lengtes van de zijden van een driehoek te berekenen als de
hoeken en één zijde gekend zijn.
Bewijs
Gegeven: ΔABC is een scherphoekige driehoek
a b c
Te bewijzen: sin  = sin B̂ = sin Ĉ
Bewijs:
In ΔBAD geldt: In ΔBCD geldt:
|BD| |BD|
sin  = c
sin Ĉ = a
|BD| = c ⋅ sin  |BD| = a ⋅ sin Ĉ
c ⋅ sin  = a ⋅ sin Ĉ
c a
sin Ĉ = sin Â
, 1.3 Oplossen van willekeurige driehoeken
Drie zijden gegeven
Om de hoeken te berekenen maken we gebruik van de cosinusregel.
Twee zijden en de ingesloten hoek zijn gegeven
Bereken eerst de ontbrekende zijde met de cosinusregel.
Nadien bereken je de hoeken eveneens met de cosinusregel.
Eén zijde en twee hoeken zijn gegeven
Bereken eerst de ontbrekende hoek. (door 180° - α – β te doen)
Bereken nadien de zijden met behulp van de sinusregel.
2. Toepassingen
2.1 Lengte van een zwaartelijn
Gegeven:
In ΔABC is:
̂ = 80°
B
|AB| = 19 cm
|BC| = 24 cm
en BD een zwaartelijn.
Gevraagd:
Bereken de lengte van [BD].
Oplossing:
We werken in ΔABC:
̂
|AC|² = |AB|² + |BC|² − 2 ⋅ |AB| ⋅ |BC| ⋅ cos B
|AC|² = 19² + 24² − 2 ⋅ 19 ⋅ 24 ⋅ cos 80°
|AC| ≈ 27,90399
|BC|² = |AB|² + |AC|² − 2 ⋅ |AB| ⋅ |AC| ⋅ cos Â
|AB|² + |AC|² − |BC|²
cos  =
2 ⋅ |AB| ⋅ |AC|
19² + 27,90399² − 24²
cos  =
2 ⋅ 19 ⋅ 27,90399
 ≈ 57°53′ 22′′
We werken in ΔABD:
|AC|
|AD| = 2
≈ 13,952
|BD|² = |AB|² + |AD|² − 2 ⋅ |AB| ⋅ |AD| ⋅ cos Â
|BD|² = 19² + 13,952² − 2 ⋅ 19 ⋅ 13,952 ⋅ cos (57°53′ 22′′)
|BD| ≈ 16,54817
Antwoord:
|BD| is ongeveer 16,54817 cm.
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller thibauttaminiau. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $5.36. You're not tied to anything after your purchase.
