100% tevredenheidsgarantie Direct beschikbaar na betaling Zowel online als in PDF Je zit nergens aan vast
logo-home
Summary Advanced Calculus Mathematics 214 $10.52
In winkelwagen

Samenvatting

Summary Advanced Calculus Mathematics 214

 81 keer bekeken  4 keer verkocht
  • Vak
  • Instelling
  • Boek

Digitally summarised advanced calculus for Mathematics 214 Stellenbosch University. These notes are detailed and comprehensive to assist you in your studies. Detailed theory and examples included. Textbook used: Calculus: Early Transcendentals (Daniel K. Clegg, James Stewart, and Saleem Watson) ...

[Meer zien]

Voorbeeld 4 van de 89  pagina's

  • Nee
  • 13, 14, 15, 16
  • 24 juni 2023
  • 89
  • 2022/2023
  • Samenvatting
avatar-seller
advanced calculus

12.6. Cylinders and quadric surfaces




cylinders
A cylinder is a surface that consists of all lines (called rulings) that are parallel to a given line and pass
through a given plane curve.




Sketch the the surface x
e.g. graph of z =




does notinvolve
equation y
·




·

any vertical plane with
equation y = K intersects the


graph in the curve moves
->

parallel along xz-plane
·
surface name: parabolic cylinder
rulings of cylinder parallel to
y-axis
·
are




if variable the surface is
rulings parallel to * one
(/y(z) is
missing, a


y-axis and
pass cylinder
through curve




e.g.(2 y2 + 1
=




·
circle with radius 1(z
of =k)

·

parallel to
cy plane

2
5.9.y2 z
+
1
=




radius k) NB:both these
circle with of 1(x
equations representa cylinder,
·
*
=




parallel this cylinder is
to
yz-plane Not
a circle. The trace of
·




a circle with z 0.
=

, surfaces,
quadric have the same characteristics as conic sections



A quadric surface is the graph of a second-degree equation in three variables x, y, and z. The
most general such equation is:


* Ax2
By (z2 Dxy Eyz fxz 6x Hy Iz 5 0
+
+
+ + + + +
+ + =




where A-5 are constants, butby translation and rotation can be boughtinto
I standard forms:



I
Ax2 Byz (z 2 5 0 or where C
A, B, O
· + +
=
+
=




Ax2 By2 Iz 0
+
· + =




e.g. Use traces to sketch the
quadric surface:( + YE +

=




· substitute z 0 = trace
=> in cy plane is x+
Y 1)
=

Ellipse
Horizontal in z K is:
trace plane
·
=




x2 y) 1
k2; z
k) ellipse provided 1
k 0 -> 12 4
- -

<
+ =
=




9 ↳
-> -
2<k < 2


and ellipses:
·vertical traces
parallel to
yz xz
planes are also


y2 z
+
1
=
-



k2;x kif = -
1ckx )

9 H




x2 z2 k2 if 3xk< 3
1
i( k
-

t
-
=
=




4 4

Z vertical:yz Z vertical:xz
Y Horizontal:
M xy M M


3 2


2




>x
>x
-y
C C C
- I I -
3 3 -
I I




-
2
-
3
2

W W W




combine these form ellipsoid (all in IR5:
we can traces to an 3 traces are
ellipses)


s
each trace is symmetric to each coordinate plane,
because there are only even
powers of and Z
x, y

, surface:(another def.)
TRACE
ofa
quadric
curve obtained by taking an intersection a
of
plane parallel to a coordinate plane (cy/zy/yz
plane) and the surface.
quadric

e.g. Determine the shape of the surface

[(1,4,z) G(R3: y2
+



z)
=




solution set



solution

① Find the traces where z =

K, KEIR Horizontal trace:Ellipse

vertical trace:Parabola


consider?+Y=K in a
plane (2D) <
Elliptic parabaloid

obtain solutions. know itdoes the
If
so, we no
So, we cross
not
negative Z axis.

k
If 0,x y
=
=
0
=
is the
only solution. y
a

If k >0:x2 yz
+ k
=


cy-plane
16


x2 k gets larger, ellipse
Y
- + =I AS

16k grows
I




() x2 +
y2 = j >x
L
I
(4) (r)
2
0
-
L

~
I




How does the ellipse grow? N

2
xz
plane x
y2 z
+ =
-




M
k2 = 116
k1
plane Z =




yz
-


A
N A
1 Set K
a y
=




Let x
k,
= then if k 0
=




z x2
2
1
y2
+
z
= =
I0 =




16 16
R
k 'x
=
ak 0 =
L -
>x
R

ifk 0
=




..
2 W
z
y
=




if k 1
=

↑ ·

=z
i y
+




W




c

, revision ofconic sections (10.5)

intersection a
of cone with a plane

⑪se
x2 + y2 = I a vertices: I a

92 b2
and Ib




⑭erbola xand
(*and-y:
+
y:
-




3
x -
1
=
>vertices: I a

92
assymptotes: x x




⑳bola
=
x2 OR Y2:AKI OR c2 =


dy>
b2
a = Lip
focus




Use traces to sketch z 4x2 yz
e.g.
+
=




·
substituting =
0, we
get: y2 = z


the
Thus, a
parabola parallel to
ccy-plane
·
FOr x K: =




z
412 z slice the parallel the yz-plane,
y => if we
graph with
any plane
to
+




2
=




yZ
have direction.
we a
positive parabola opening up in the upward
FOr y K:

xz/z
=




=4x + k2
parabola
= that
opens upward (steeper)
·
FOr z K:
=




cy( y2 4=
+ k ellipse
=
iff k>0




e.g.



·
fOr
Sketch




x K:
=
z
yz
=
-




FOr
x2




z K!= FOr
y K:
=
-pr
z =
yz
-

k2 k yz
=
-
x2 z x2
=
-
x2


42
a A xy xZ
yperbolic paraboloid

Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:

√  	Verzekerd van kwaliteit door reviews

√ Verzekerd van kwaliteit door reviews

Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!

Snel en makkelijk kopen

Snel en makkelijk kopen

Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.

Focus op de essentie

Focus op de essentie

Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!

Veelgestelde vragen

Wat krijg ik als ik dit document koop?

Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.

Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?

Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.

Van wie koop ik deze samenvatting?

Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper miaolivier16. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.

Zit ik meteen vast aan een abonnement?

Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor $10.52. Je zit daarna nergens aan vast.

Is Stuvia te vertrouwen?

4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews)

Afgelopen 30 dagen zijn er 52510 samenvattingen verkocht

Opgericht in 2010, al 14 jaar dé plek om samenvattingen te kopen

Start met verkopen

Laatst bekeken door jou


$10.52  4x  verkocht
  • (0)
In winkelwagen
Toegevoegd