Approximation Zusammenfassung UHH Mathematik 2022

, wann II. 111 7. Kalt 1×21

Partielle Integration
/U -

v
'

dx =
Uv
-

Su
' -

vdx o .
Ital!= ! udx
Substitution aber bei II. Ilo kein Unterschied .




Binomischen Lehrsatz (Blatt 2)

Trig Rechenregeln
-




pq
-



Formel : -




E- ± ✓Ä schnell konvexe Fkt angeben
(Blatt 3) .




Investquad Matrix
Leibniz
Regel höhere Ableitungen . .




Satz von Rolle

Zwischenwertsatz

"
Bei Hull p=( | / ulx) /Pdx) immer IIUHPP =
/ lucx) /Pdx betrachten




f- C- x) f- (x) ( Achsen symmetrisch)
gerade Funktion : =




Z.B .
COS


(Punkt
ungerade Funktion : f- Ex) f- (x) symmetrisch)
= -




Z.B .
Sin



•
sin (x)
Cos (x)

Sinn (x)
coshcx)




SKIES SEX) ES
'


Spiegelung invariante
Menge =D
:
s

, O.CI

(F ) abelsche Gruppe
,
+ V-YWEFi-VR.ME IÄ :




Approximation
" wc-T-ivi-w-u.tv (ihr" +
µ *
übungen
=




tu ,YWEF :
✓+ (w t u) =
(vtw) + u ✗ (vtw) =
Rut RW
JOEF : ✓+☐ =
v lt VEF (Rpr) v =
RCMV)
tue 3- -
✓ c- : ✓ + C- D= °
g. ✓ ✓ Einsamen+ in ☒ o.ci
Definitionen
µ
=




F linearer Raum über IR oder E ( =
Vektorraum über IR v6)
wichtig
0--1 SEE

( s vereinfachte
'
und Finde zu FEF ein SES mit s- f Version von f)



Oft :
f :D -
DIR ,
→ CIR




Best approximation n (BA)


Def .
(Norm) 5- normierter Raum ( Ro E) . Jede Norm definiert eine Metrik


Abb II. II F IO ) heißt Norm auf F falls (Norm Metrik misst Abstände)
gilt misst
größe
: -
☐ N
.
, , ,




(a) Hut/ = 0 ⇐ Du -0
Definit hat

(b) Mault = IN 11411 VUE F Homogenität 11×111=1×11+1×21
-

-




(c) Hut v11 Hull + Holt V-u.VE F Dreiecks
ungleichung
=

11×112
'
=
Vxitx?

11×16 =
max {1×1,1×21}
=P (F , II. II) normierter Raum

1.1


Def .
( Best approximation) IRA) -




Rlg) / ± Hf -



gll
( F. II. II) normierter Raum ,
5C F =/ 0 FEF 1.2
,



Inf Hs fll
'

S F
11s # f- 11 Lin Teil raum
'
ES 5 f 11.11 von
BA
bzgl falls
→ #
aus
-



s an .
- = .




, '
SES
THEIR , FEF :
Rcaf/ =/ ✗ In (f)
inf Ils fll V-f.GE F R ( f- + g) ER(f) trug)
Rlf 5)
:
Minimal
abweichung R
= = -




, '
SES
THEF SES R ( fis) R (f)
'
'
i =


Ein SES wo die Minimal
abweichung angenommen wird ist BA ,




Eine Minimal 5 ab
abweichung gibt es immer ,
ob es eine BA gibt hängt von .




f ( die
'
Bsp :
f- ES =D s
# =
die BA ist
sogar eindeutig) 1-
.




el-o.at] fcx> sina.5-Po.PE {s :[o.at] Is ER } Hallo maxlucx) /
•
E- ,
= - ☐ ☒ =
c. [ .
-
-


✗c- [o.su] .




Ist Us 11s f- IHR
'


n ,
-

f- 11--1 s
#
ES mit # -

ist #
s = 0




Beispiel (5.62)




{( } (x ,
'


f- =
1122 ,
5- ✗ „ ✗ e) 12 <
✓ xitxzz <3 , f- ✗
=




f-
.
✗ =3 =D außerhalb d .


Rings (5)
hier a- 4 :




bzgl .
II. 111,2 , ist 2=1 , aber für kein SES
'

gilt : Hs f " -1
-

(da '
3. nicht ins enthalten )


✗= 1 =D f- = (1,0)

#
(2,0)
bzgl II. 111,2 ist s =
mit v1 BA .




|




a- 0 =D f- [0,0)

bzgl .
II. II , sind (2,0) , (0/2) ,
C- 2,0) ,
(O ,
-


2) BAS mit f- 2



{( } (Innere Kreislinie)
'
:S? / ✓ xitxz
bzgl Hz gibt
'
II. es unendlich viele BAS ✗„ ✗ e) ER - 2




bzgl II. Ho ist (o ,
± II) , E- V7.0) BAS mit REST

, Blatt 1 .




1



d , (a) =
Hf -


soll , =

! 1×2 -

✗ ✗ Idx =

§ ✗ Ix -

✗ Idx
1




✗ < o : di (x) =

! ✗ (x a) -

dx =
} -




&
^
✗



✗ c- (0,1) :
di (x) =


! ✗ (x -


) dx
x + ) ✗ (x a)
-

dx = ¥ G-
- +
}
✗

1




✗ 21 :
da (x) =

! ✗ (x -
x ) dx =
G- -




^5

Minimiere da um n, zu erhalten :

✗ EO :
min
✗EO
§ -


§ =
§ = da (o)
|
← 0



✗ c- (0.1) :
di (a) =
✗
2-
12 :O
=
⇐D ✗= JE d. ( II) =
2-
LI <
G-
"
F-
✗ ? 1 :
IE! G- }
-
=
J 3--16 -
=
da (1)




=D
R (x),
wird durch ✗ E- JE minimiert =D
n, (f) =D , (✗ *) =
2-6 und s ¥