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Universität Ulm Prof. Dr. Dall’AcquaLukas Niebel
Abgabe und Besprechung: WS 22/23
3.11.22, 14:15 Uhr
O28 - H22 15 Punkte
Lösungen zur Vorlesung Analysis I Blatt 2
1. Es sei (K, +, ·, P ) ein total angeordneter Körper. Wir definieren f : K \ {1} → K (2)
als f (x) := x−1
x
. Ist f wohl-definiert? Ist f injektiv oder surjektiv? Bestimmen Sie
den Bildbereich von f .
Lösung: Die für x ∈ K \ {1} ist x − 1 ∕= 0. Folglich ist x−1 x
∈ K und f wohldefineirt.
′
Ferner ist f injektiv. Seien x, x ∈ K \ {1} mit x−1 = x′ −1 , dann folgt
′ x x
xx′ − x = x(x′ − 1) = x′ (x − 1) = x′ x − x′ und schließlich x = x′ .
Die Abbildung ist nicht surjektiv. Es ist 1 ∈ K dennoch gibt es kein x ∈ K \ {1} mit
f (x) = 1. Angenommen, dies wäre wahr, dann gilt x−1x
= 1, also x = 1, ein Widerspruch.
Der Bildbereich ist gegeben durch f (K \ {1}) = K \ {1}. Betrachte die Abbildung g : K \
{1} → K, g(y) = y−1 y
, dann gilt
y
y−1
(f ◦ g)(y) = y =y
y−1
−1
für alle y ∈ K \ {1} ist g(y) das (eindeutige) Urbild. Dies zeigt K \ {1} ⊂ f (K \ {1}).
Wir wissen auch, dass 1 ∈/ f (K \ {1}) und somit folgt die Behauptung.
Wir haben gezeigt f : K \ {1} → K \ {1} ist bijektiv.
2. Es seien X, Y Mengen und f : X → Y eine Abbildung. Zeigen Sie, dass f genau (3)
dann injektiv ist, wenn f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B) für alle A, B ⊂ X gilt.
Lösung: Wir zeigen zunächst die Hinrichtung. Angenommen f ist injektiv. Seien A, B ⊂
X. Es sei y ∈ f (A ∩ B), dann existiert x ∈ A ∩ B mit der Eigenschaft dass f (x) = y.
Folglich ∃x ∈ A : f (x) = y und ∃x ∈ B : f (x) = y und damit y ∈ f (A) ∩ f (B). Ist nun
y ∈ f (A)∩f (B), dann existiert x ∈ A und x′ ∈ B, sodass f (x) = f (x′ ) = y. Da f injektiv
ist, muss x = x′ sein und somit x ∈ A ∩ B. Wir habenm gezeigt, dass ∃x ∈ A ∩ B mit
f (x) = y. Folglich, y ∈ f (A ∩ B). Dies zeigt f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).
Für die Rückrichtung nehmen wir an f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B) gelte für alle A, B ⊂ X.
Seien x, x′ ∈ X mit y = f (x) = f (x′ ), dann folgt für A = {x} und B = {x′ } die Gleichheit
{y} = f (A) ∩ f (B) = f (A ∩ B).
Schließlich muss A ∩ B nichtleer sein. Dies impliziert x = x′ . Wir haben gezeigt, dass f
injektiv ist.
3. Es sei (K, +, ·, P ) ein total angeordneter Körper und a, b ∈ K mit a > 0 und b > 0. (3)
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