Exam (elaborations)
Exam (elaborations) Mathématique
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Mathématiques en MP* d’après un cours au lycée Louis-le-Grandchapitre 10
Familles sommables
Dans tout ce chapitre I désigne un ensemble non vide (I = ∅ étant trivial, en utilisant la convention
X
ui = 0). On adopte également les conventions et notations suivantes.
i∈∅
→ On note R+ = R+ ∪ {+∞}.
→ On convient que pour tout réel x ∈ R+ , dans R+ , x + ∞ = +∞ + x = +∞.
→ On convient aussi que pour tout X ⊂ R+ , X = ∅ si et seulement si sup X = −∞, et si +∞ ∈ X
alors sup X = +∞.
X +∞
X
→ Finalement, si un est une série à termes positifs non convergente, on posera un = +∞.
n≥0 n=0
I Familles à termes positifs
Définition I.1.
Soit (ui )i∈I une famille de réels positifs. On dit que (ui )i∈I est sommable s’il existe M ≥ 0 tel
que pour toute partie finie J de I,
X
ui ≤ M
i∈J
!
X X
Dans ce cas, la somme de (ui )i∈I , notée ui , est sup ui
i∈I J⊂I i∈J
J est finie
Conventions :
X
→ Si (ui )i∈I n’est pas sommable, on convient que ui = +∞.
i∈I
X X
→ Soit (ui )i∈I et (vj )j∈J deux familles de termes réels positifs. On dit que, dans R+ on a ui = vi ,
i∈I i∈J
lorsque l’une des deux familles est sommable, si et seulement si l’autre l’est et que si elles le sont,
alors leurs sommes sont égales.
Proposition I.2.
Soit (ui )i∈I une famille de réels positifs. Si (ui )i∈I est sommable, alors K := {i ∈ I | ui > 0} est
au plus dénombrable.
1
∗
Preuve : Soit n ∈ N . Supposons que A1/n := i ∈ I ui ≥ soit infini. Soit J une partie finie de
n
X X |J| X
A1/n telle que |J| > n ui . Alors ui ≥ > ui ce qui est faux.
i∈I i∈J n i∈I
[
∗
Donc pour tout n ∈ N , A1/n est fini, donc K = A1/n au plus dénombrable.
n∈N∗
Dans toute la suite du chapitre, on suppose que I est au plus dénombrable.
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, Mathématiques en MP* d’après un cours au lycée Louis-le-Grand
Proposition I.3.
Soient (ui )i∈I et (vi )i∈I deux familles de réels positifs.
1. Si (vi )i∈I est sommable et que pour tout i ∈ I, ui ≤ vi , alors (ui )i∈I est sommable et la
X X
somme vérifie ui ≤ vi
i∈I i∈I
2. Si (ui )i∈I n’est pas sommable et que pour tout i ∈ I, ui ≤ vi , alors (vi )i∈I n’est pas
sommable.
[
3. Soit (Jn )n∈N une suite croissante de parties finies de I telle que Jn = I. Alors (ui )i∈I
n∈N
X
est sommable si, et seulement si, la suite de terme général Sn := ui est majorée.
i∈Jn
X
Dans ce cas, Sn −−−−→ ui .
n→+∞
i∈I
4. Soit λ ≥ 0. Supposons que (ui )i∈I et (vi )i∈I soient sommables. Alors (λui )i∈I et (ui +vi )i∈I
sont sommables et
X X X X X
λui = λ ui et (ui + vi ) = ui + vi
i∈I i∈I i∈I i∈I i∈I
Preuve :
1. Soit J ⊂ I fini. On a alors X X X
uj ≤ vj ≤ vi < +∞
j∈J j∈J i∈I
Cette borne étant indépendante de J, on déduit que la famille (ui )i∈I est sommable et que de plus
X X
ui ≤ vi
i∈I i∈I
2. C’est simplement la contraposée du point précédent.
X
3. (⇒) Pour tout n ∈ N, Sn ≤ ui < +∞ et cette borne est indépendante de n.
i∈I
(⇐) Soit J une partie finie de I. Il existe N ∈ N tel que J ⊂ JN donc en notant K un majorant de
(Sn )n∈N
X
ui ≤ SN ≤ K
i∈J
donc (ui )i∈I est sommable, ce qui achève la preuve de l’équivalence.
X
Supposons maintenant que (ui )i∈I est sommable. Alors, pour tout n ∈ N, Sn ≤ ui . Croissante et
i∈I
X
majorée, (Sn ) converge vers ℓ ≤ ui . Par ailleurs, pour toute partie finie J de I, il existe NJ ∈ N
i∈I !
X X X
tel que pour tout entier n ≥ NJ , ui ≤ SNJ ≤ Sn ≤ ℓ. Donc ui = sup ui ≤ ℓ. Donc
i∈J i∈I J⊂I i∈J
J est finie
X
Sn −−−−→ ui
n→+∞
i∈I
[
4. Considérons une suite croissante (Jn )n∈N de parties finies de I telle que Jn = I et posons,
n∈N
X X
pour tout n ∈ N, Sn = ui et Sn′ = vi . D’après la proposition I.3, (Sn )n∈N et (Sn′ )n∈N sont
i∈Jn i∈Jn
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