Samenvatting Algebra 1 - Jaap Top, Groningen University
3 views 0 purchase
Course
Mathematics
Institution
Mathematics
Algebra 1
Jaap Top, Groningen University
1 De gehele getallen
2 Rekenen modulo N
3 Groepen en homomorfismen
4 Permutatie-groepen
5 Groepen van symmetrieen
6 Conjugatie, index en Sylow-groepen
7 Normaaldelers en factorgroepen
8 Homomorfie-en isomorfiestellingen
9 Eindig voortgebrachte a...
1 De gehele getallen
In dit hoofdstuk houden we ons bezig met de verzameling van alle gehele ge-
tallen Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}. Veel elementaire eigenschappen daar-
van zijn ons welbekend uit het lager– en middelbaar onderwijs. Wat daar
evenwel in de meeste gevallen niet gedaan wordt, is zulke eigenschappen ook
echt bewijzen. Dat doen we hier wel, en in latere hoofdstukken zal blijken
hoe dat weer te gebruiken is voor bijvoorbeeld een beter begrip van het re-
kenen met resten bij deling door een vast getal. Dat laatste kan dan op zijn
beurt gebruikt worden voor bijvoorbeeld het vinden van criteria die zeggen
of een gegeven groot getal een priemgetal is of niet. En zo zullen we hier en
in verdere hoofdstukken veel meer voorbeelden zien van soms vrij abstracte
definities en bewijzen, die later in concrete situaties heel goed toepasbaar
blijken te zijn.
1.1 Deling (met rest)
Al op de lagere school komen we sommen als 100 : 7 = 14 rest 2 tegen.
Achter dit soort opgaven ligt het volgende.
Stelling 1.1.1 (Deling met rest.) Laat a, b ∈ Z met b > 0. Dan bestaan er
q, r ∈ Z waarvoor
a = qb + r en 0 ≤ r < b.
Bovendien zijn deze q, r uniek.
Bewijs. We tonen eerst het bestaan van zulke q, r ∈ Z aan. Voor niet-
negatieve a kan dat bijvoorbeeld met volledige inductie: is a = 0 dan kunnen
we q = r = 0 nemen. Weten we dat a − 1 ≥ 0 te schrijven is als a − 1 = q̃b + r̃
met 0 ≤ r̃ < b, dan volgt a = q̃b + r̃ + 1. Er geldt uiteraard 0 ≤ r̃ + 1 ≤ b.
In het geval r̃ + 1 < b kunnen we dus q = q̃ en r = r̃ + 1 nemen. In het
resterende geval r̃ + 1 = b hebben we a = q̃b + r̃ + 1 = q̃b + b = (q̃ + 1)b + 0,
dus q = q̃ + 1 en r = 0 voldoen. Hiermee is volgens het principe van volledige
inductie voor a ≥ 0 de existentie van q, r aangetoond.
Is a < 0, dan is −a > 0, dus uit wat we zojuist bewezen hebben volgt
dat er q 0 , r0 zijn met −a = q 0 b + r0 en 0 ≤ r0 < b. Dan is a = (−q 0 )b − r0 =
(−q 0 − 1)b + (b − r0 ), dus we concluderen dat q = −q 0 en r = 0 voldoen in
het geval dat r0 = 0, en als r0 6= 0 dan kunnen we q = −q 0 − 1 en r = b − r0
nemen.
Nu nog de uniciteit. Stel dat a = q1 b + r1 = q2 b + r2 waarbij 0 ≤ r1 ≤
r2 < b. Dan volgt 0 ≤ r2 − r1 ≤ r2 < b, maar ook r2 − r1 = b(q1 − q2 ). Dus
moet r1 = r2 , want anders zou het een positief veelvoud van b zijn en we
, 1 DE GEHELE GETALLEN 4
hebben al gezien dat r2 − r1 < b. We concluderen dat ook b(q1 − q2 ) = 0, en
omdat b 6= 0 impliceert dit q1 = q2 . Hiermee is de stelling bewezen. 2
Opmerking 1.1.2 Als we wat kennis over reële getallen gebruiken, dan kan
een heel ander bewijs gegeven worden: deel de reële lijn op in intervallen met
lengte b, dus
R = . . . ∪ [−2b, −b) ∪ [−b, 0) ∪ [0, b) ∪ . . . . . .
Het getal a ∈ R ligt dan in één zo’n interval [qb, (q+1)b), en is dus te schrijven
als a = qb + r waarin 0 ≤ r < b.
Definitie 1.1.3 Laat a, b ∈ Z. We zeggen dat a het getal b deelt, als er een
q ∈ Z bestaat waarvoor geldt b = qa. Dit noteren we als a|b. Bestaat zo’n q
niet, dan schrijven we a 6 |b (en we zeggen: a deelt b niet).
In plaats van a deelt b wordt ook wel gezegd dat a een deler van b is, of
dat b een veelvoud van a is, of dat b deelbaar is door a. Bijvoorbeeld geldt
17| − 153 en 0|0 en −2 6 |101 en 0 6 |3.
We geven een aantal eenvoudige eigenschappen van deelbaarheid.
Propositie 1.1.4 Voor a, b, c ∈ Z geldt
1. Als a|b en b|c dan ook a|c.
2. Als a|b en a|c dan ook a|b ± c.
3. a|0 en 1|a.
4. 0|a dan en slechts dan als a = 0.
5. Als voor b 6= 0 geldt dat a|b, dan is |a| ≤ |b|.
Bewijs. Al deze eigenschappen volgen direct uit de definitie. Bijvoorbeeld
impliceert a|b en a|c dat er p, q ∈ Z bestaan waarvoor b = pa en c = qa, en
daaruit volgt dat b ± c = pa ± qa = (p ± q)a, met andere woorden a|b ± c. 2
Uit de laatste in Propositie 1.1.4 genoemde eigenschap volgt, dat een
geheel getal a 6= 0 slechts eindig veel delers heeft; de grootste daarvan is ui-
teraard |a|. Hebben we nog een getal, zeg b, dan hebben dus in het bijzonder
a en b slechts eindig veel delers gemeenschappelijk (twee van die gemeen-
schappelijke delers zijn natuurlijk 1 en −1). Iets dergelijks geldt wanneer we
kijken naar gemeenschappelijke veelvouden van twee gehele getallen a, b. Als
a of b nul is, dan volgt uit de vierde in Propositie 1.1.4 gegeven eigenschap
dat 0 het enige gemeenschappelijke veelvoud is. Geldt daarentegen ab 6= 0,
dan hebben a en b gemeenschappelijke positieve veelvouden, bijvoorbeeld
|ab|. Dit leidt tot de volgende definitie:
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller tandhiwahyono. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $7.79. You're not tied to anything after your purchase.
