Summary
samenvatting wiskunde 2 examencommissie derde graad
- Course
- Institution
Theoretische samenvatting van de leerstof wiskunde 2 aan de examencommissie, richting wetenschappen wiskunde.
[Show more]
Seller
Follow
lotteloots
Reviews received
Content preview
Wiskunde II1.1 Complexe getallen
Complexe getallen
complex getal: een complex getal is een getal van de vorm z = a + bi (a,b ∈ R )
Alle complexe getallen samen vormen de verzameling C
a: het reële deel van het complex getal (a = Re(z))
b: het imaginaire deel van het complex getal (b = Im(z))
- als b = 0 dan is het complex getal reëel: R ⊂ C
- als a = 0 en b ≠ 0, dan noemen we het getal zuiver imaginair
a + bi = c + di ⇔a = c en b = d
a + bi = 0 ⇔ a = 0 en b = 0
i is een vierkantswortel uit -1 ⇔ i² = -1
notaties
- a + bi met i² = -1
- (a,b)
grafische voorstelling in het vlak van Gauss
elk complex getal z = a + bi is volledig bepaald door het koppel reële getallen (a,b)
- dit koppel beschouwen we als het coördinaat van een punt P in een vlak waarin
een georthonormeerd assenstelsel is aangebracht
- beeldpunt van het complex getal z = a +bi is het punt P(a,b)
- is b = 0 dan is z = a reëel en ligt het beeldpunt van z op de x-as, de reële as
- is a = 0 en b ≠0 dan is z = bi zuiver imaginair en ligt het beeldpunt van z op
de y-as de imaginaire as
- complexe vlak, vlak van Gauss: vlak dat ontstaat tussen x-as, y-as en
evenwijdige rechten door punt P(a,b)
Rekenen met complexe getallen
Som en verschil
gegeven: z 1 , z 2 ∈ C waarbij z 1=a+ bi en z 2=c + dimet a , b , c , d ∈ R
z 1+ z2 =( a+bi)+(c +di)=( a+c)+(b+ d) i
z 1−z 2=(a+bi)−(c+ di)=(a−c )+(b−d )i
tegengestelde complexe getallen
= twee complexe getallen waarvan de som 0 is
tegengestelde getal van een complex getal z wordt met -z genoteerd
p. 1 /41
, Wiskunde II
eigenschappen C, +
inwendig en overal gedefinieerd
∀ z 1 , z 2 ∈C : z1 + z 2 ∈ C
associatief
∀ z 1 , z 2 , z 3 ∈ C :( z 1 + z 2)+ z 3=z 1 +( z 2 + z 3)
neutraal element
∃0 ∈ C , ∀ z 1 ∈C : z 1 +0=z 1=0+ z 1
symmetrisch element
∀ z 1 ∈C ,∃ !−z 1 ∈C : z1 +(−z 1)=0=(−z 1)+ z 1
commutatief
∀ z 1 , z 2 ∈C : z1 + z 2=z 2 + z 1
Product van twee complexe getallen
gegeven: z 1 , z 2 ∈ C waarbij z 1=a+ bien z 2=c + dimet a , b , c , d ∈ R
z 1∗z 2=(a+bi )∗(c +di)
¿ ac +bci+adi+bdi ²
i²=-1
¿(ac−bd )+(bc +ad )i
eigenschappen C,*
inwendig en overal gedefinieerd
∀ z 1 , z 2 ∈C : z1∗z 2 ∈C
associatief
∀ z 1 , z 2 , z 3 ∈ C :( z 1∗z 2 )∗z 3=z 1∗(z 2∗z 3)
neutraal element
∃1 ∈C , ∀ z 1 ∈ C : z 1∗1=z 1=1∗z1
opslorpend element
∃0 ∈ C , ∀ z 1 ∈C : z 1∗0=0=0∗z1
commutatief
∀ z 1 , z 2 ∈C : z1∗z 2=z 2∗z 1
distributief
∀ z 1 , z 2 , z 3 ∈ C : z 1∗(z 2 + z 3)=z 1∗z 2+ z 1∗z3
complex toegevoegd getal van een complex getal
complex toegevoegde getallen: getallen die hetzelfde reële deel maar tegengestelde
imaginaire delen hebben
bv. 5-2i is de complex toegevoegde van 5+2i
notatie: z
z = a + bi dan is z=a+bi = a - bi
eigenschappen
1. ∀ z ∈C : z=z
2. ∀ z ∈C : z+ z ∈ R
3. ∀ z ∈C : z∗z ∈ R
4. ∀ z 1 , z 2 ∈C : z1 + z 2=z 1 + z 2
5. ∀ z 1 , z 2 ∈C : z1∗z 2=z 1∗z 2
quotiënt van twee complexe getallen
→ vermenigvuldig teller en noemer met het complex toegevoegde getal van de noemer
algemeen:
p. 2 /41
, Wiskunde II
a+bi (a+ bi)∗(c−di) (ac+ bd)+( bc−ad )i ac+ bd bc−ad
= = = + i
c +di (c+ di)∗(c−di) c ²+d ² c ²+ d ² c ²+d ²
machtsverheffing in C
we definiëren machten met een natuurlijke exponent zoals in het veld R,+,*
∀ a+bi ∈C , ∀ n ∈ N 0 ¿ 1 }:¿ ¿
n-factoren
(a+bi)0=1 (a+bi≠0)
(a+bi)1= a+bi
→ omdat C,+,* een veld is, heeft de machtsverheffing in C dezelfde eigenschappen als in
R
machten van i
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2 * i = (-1) *i = -i
i4 = i² * i² = (-1) * (-1) = 1
dus:
- i1 = i
- i² = -1
- i³ = -i
- i4 = 1
machten met i met een hogere exponent berekenen we met behulp van deze formules
door eerst in de exponent een zo groot mogelijk viervoud af te splitsen
Het vlak van Gauss
Modulus r
= afstand van het beeldpunt P van z tot de oorsprong
r =mod(z )=¿ z∨¿ √❑
Argument α
= het argument α van het complex getal z is de georiënteerde hoek die de positieve
reële as maakt met de halfrechte [OP
a
a=arg(z ); tan α =
b
- meestal kiezen we - 180° < arg (z) ≤ 180° (hoofdwaarden)
Goniometrische vorm
een complex getal z = a + bi kunnen we schrijven in de goniometrische vorm
z = r (cosα + i sin α )
Omrekeningsformule
z=r (cos α +isin α ) naar z = a +bi
a=r cos (α )
b=r sin( α )
p. 3 /41
, Wiskunde II
Product van twee complexe getallen
z 1=r 1 (cos α 1 +i sin α 1 )
z 2=r 2 (cos α 2 +i sin α 2 )
¿> z 1∗z 2=r 1∗r 2 ¿α 1+α 2 ¿ ¿
- de modulus van het product van twee complexe getallen is het product van de
moduli van de twee complexe getallen
- het argument van het product van twee complexe getallen is de som van de
argumenten van de twee complexe getallen
Machtsverheffing van complexe getallen
z=r (cos α +isin α )
¿> z n =r n (cos n α +isin n α )
- de modulus van de n-de macht (n is een natuurlijk getal) van een complex getal is
de n-de macht van de modulus van dit complex getal
- het argument van de n-de macht (n is een natuurlijk getal) van een complex getal
is het n-voud van het argument van dit complex getal
Formule van Moivre
! is r = 1?
∀ n ∈ N :¿
Quotiënt van complexe getallen
z 1=r 1 (cos α 1 +i sin α 1 )
z 2=r 2 (cos α 2 +i sin α 2 )
z1 r1
¿> = (cos (α 1−α 2)+sin(α 1−α 2 ))
z2 r2
- de modulus van het quotiënt van twee complexe getallen is het quotiënt van de
moduli van de twee complexe getallen
- het argument van het quotiënt van twee complexe getallen is het verschil van de
argumenten van de twee complexe getallen
Binomiale vergelijkingen in C
binomiale vergelijking: vergelijking in C van de vorm: zn = a met N0 en a ∈C
dus: zn - a = 0
n
z =a≤¿ z is de n−de machtswortel uit a
1.2 Matrixrekening
Matrices
matrix: met m rijen en n kolommen, een matrix met dimensie m x n of een m x n-
matrix
- elementen: reële getallen aij met i ∈ {1,2,...,m} en j ∈ {1,2,...,n}
(soorten matrices)
gelijke matrices
= twee m x n-matrices noemen we gelijk als elke twee overeenkomstige elementen
gelijk zijn
a11 = b11
p. 4 /41
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller lotteloots. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $4.28. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
71184 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now