Hoofdstuk 11 Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina 1 van 17
PARAGRAAF 11.0 : RIEMANN-SOM EN OPPERVLAKTE
LES 1 RIEMANN-SOM
DEFINITIE RIEMANN-SOM
n
Een oppervlakte kun je benaderen met behulp van een Riemann-som = f ( x ) x
i 1
i
VOORBEELD 1
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 4 – 𝑥 2 .
a. Schets de grafiek van -3 tot 3.
b. Benader de oppervlakte tussen f(x) en de x-as met een Riemann-som en Δx=1.
c. Benader de oppervlakte tussen f(x) en de x-as met een Riemann-som en Δx= ½ .
,Hoofdstuk 11 Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina 2 van 17
OPLOSSING 1
a. De snijpunten met de x-as zijn x=-2 en x=2. Teken rechthoekjes van 1 breed en neem de
gemiddelde hoogte op het interval. Er zijn dus 4 rechthoekjes !
Je kunt met een Riemann-som (rechthoekjes van 1 breed) de oppervlakte uitrekenen
4
Oppervlakte = f ( x ) x f ( x ) x f ( x ) x f ( x ) x f ( x ) x
i 1
i 1 2 3 4
Totale oppervlakte benadering = 1 ¾ + 3 ¾ + 3 ¾ + 1 ¾ = 11
, Hoofdstuk 11 Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina 3 van 17
b. De snijpunten met de x-as zijn x=-2 en x=2. Teken rechthoekjes van ½ breed en neem
de gemiddelde hoogte op het interval.
Oppervlakte RECHTS :
3 1 1
(1) Rechthoek I van 1½ tot 2 → 𝑂𝑝𝑝𝐼 = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝛥𝑥 = 𝑓 (1 ) ⋅ = 0,9375 ⋅ = ⋯
4 2 2
1 1 1
(2) Rechthoek II van 1 tot 1½ → 𝑂𝑝𝑝𝐼𝐼 = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝛥𝑥 = 𝑓 (1 4) ⋅ 2 = 2,4375 ⋅ 2 = ⋯
3 1 1
(3) Rechthoek III van ½ tot 1 → 𝑂𝑝𝑝𝐼𝐼𝐼 = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝛥𝑥 = 𝑓 ( ) ⋅ = 3,4375 ⋅ = ⋯
4 2 2
1 1 1
(4) Rechthoek IV van 0 tot ½ → 𝑂𝑝𝑝𝐼𝑉 = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝛥𝑥 = 𝑓 ( ) ⋅ = 3,9375 ⋅ = ⋯
4 2 2
Totale Oppervlakte RECHTS = 5,375
Aangezien de grafiek symmetrisch is , is Opp RECHTS = Opp LINKS :
Dus de Totale oppervlakte benadering = 2 ⋅ 5,375 = 10,75
OPMERKING
Je ziet dat de 2e benadering (uiteraard) beter is !
Hoe kleiner de rechthoekjes, hoe beter de benadering !!
HUISWERK 1
Gegeven is de functie 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 𝑥 2 .
a. Schets de grafiek van 0 tot 3.
b. Benader de oppervlakte tussen 𝑓(𝑥) en de x-as met een Riemann-som en met 𝛥𝑥 = 1.
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller tandhiwahyono. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $2.55. You're not tied to anything after your purchase.
