Se trata de un resumen realizado a través de todas las presentaciones proporcionadas en la asignatura de Álgebra de la Universidad de Deusto.
Con estos apuntes logré sacar un 9,5 y matrícula de honor.
Aunque haya un salto del tema 2 al tema 5, no hay que preocuparse, esto sucede ya que el tem...
Tema 1: conjuntos
conjunto: Colección de objetos (elementos).
→ Los elementos pertenecen al conjunto.
→ El conjunto contiene los elementos.
→ El conjunto está determinado por sus elementos.
𝑥 ∈𝐴 𝑥 ∉ 𝐴
1 ∈ 𝐴 ( 1 pertenece a A )
4 ∉ 𝐴 ( 4 no pertenece a A )
1. representación
- Representación por extensión: para conjuntos de pocos elementos, con
comas y entre llaves.
ej: 𝐴 = {1, 2, 3} 𝐴 = {2, 1, 3}
𝐴 = {3, 2, 3, 1}
- Representación por compresión:
𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑈 | "𝑥 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑"}
ej: 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁 | 𝑥 ≤ 3}
𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑁 | 𝑥 ≥ 3}
Conjunto vacío: conjunto sin elementos, forma parte de cualquier conjunto.
Conjunto universal: conjunto sin condición.
Cardinal de un conjunto (#A): el número de elementos que posee el conjunto A.
2. igualdad de conjuntos
Conjuntos iguales: son aquellos que tienen los mismos elementos.
𝐴 = 𝐵 ⇔ {(∀𝑥 ∈ 𝑈 | 𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑈 | 𝑥 ∈ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴)}
Conjuntos distintos: existe al menos un elemento que no pertenece a alguno de los
conjuntos.
𝐴 ≠ 𝐵 ⇔ {(∃𝑥 ∈ 𝑈 | 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵) ∨ (∃𝑥 ∈ 𝑈 | 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴)}
3. subconjuntos
Decimos que un conjunto es un subconjunto del conjunto B si todos los elementos de A
pertenecen a B:
𝐴 ⊆ 𝐵 ⇔ (∀𝑥 ∈ 𝑈: 𝑥 ∈ 𝐴 ⟹ 𝑥 ∈ 𝐵)
→ Subconjunto propio: solamente si todos los elementos de A están en B y sí B tiene
elementos aparte de los de A.
, 3.1. propiedades de los subconjuntos
Propiedad fundamental del conjunto vacío: el conjunto vacío es subconjunto de A.
∀A ⊆ U: ∅ ⊆ A
Reflexividad: para todo conjunto A, A es subconjunto de A.
∀A ⊆ U: A ⊆ A
Antirreflexividad propia: para todo conjunto A, A no es subconjunto propio de A.
∀A ⊆ U: A ⊄ A
Antisimetría: Dos conjuntos A y B son iguales solo si A es subconjunto de B y B de A.
A=B⇔A⊆U∧B⊆A
Transitividad: Si tenemos tres conjuntos A, B y C, A es subconjunto de B y B es
subconjunto de C, entonces A es subconjunto de C.
A⊆B∧B⊆C⇒A⊆C
4. conjunto potencia
El conjunto potencia de A es el conjunto de todos sus subconjuntos (o partes):
P (A) = {x: x ⊆ A}
ej: 𝐴 = {1, 2, 3} 𝑃(𝐴) = {∅, 1 , 2 , 3 , 1, 2 , {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
5. operaciones con conjuntos
5.1. unión e intersección
Unión (A∪ B): conjunto formado tanto por los elementos de A como los de B.
A ∪ B = {x ∈ U| x ∈ A ∨ x ∈ B }
Intersección (A ∩ B): conjunto formado por los elementos tanto de A como de B.
A ∩ B = {x ∈ U| x ∈ A ∧ x ∈ B }
5.2. complemento de un conjunto
El complemento del conjunto A es un conjunto formado por todos los elementos que no
forman parte de A.
Ac = {x ∈ U| x ∉ A }
5.3. diferencia de conjuntos
Es el conjunto que contiene a aquellos elementos de A que no pertenecen a B.
A − B = x ∈ U|x ∈ A ∧ x ∉ B
A − B = A ∩ Bc
5.4. diferencia simétrica
Es el conjunto que contiene a aquellos elementos de A y no pertenecen a B, o bien que
están en B y no pertenecen a A.
A △ B = (A − B) ∪ (B − A)
5.5. propiedades algebraicas
Asociatividad A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C
A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
Conmutatividad A ∪ B = B ∪ A
, A∩B=B∩A
Idempotencia A ∪ A = A
A∩A=A
Absorción A ∩ ( A ∪ B ) = A
A∪(A∩B)=A
Identidad (neutro) A ∪ ∅ = A A ∪ U = U
A∩U=AA∩∅=∅
Distributividad A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
A ∪ B − C = (A − C) ∪ (B − C )
A∩B−C=A∩B−(A∩C)
Leyes de Morgan (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
A−A=∅
A=(A∩B)∪(A−B)
6. producto cartesiano
Llamaremos producto cartesiano de los conjuntos A y B al conjunto:
A × B = {x, y x ∈ A ∧ y ∈ B }
Que cumple las siguientes propiedades:
1. A × ∅ = ∅ × A = ∅ .
2. Si A ⊆ C y B ⊆ D , entonces A × B ⊆ C × D
3. A × ( B ∪ C ) = A × B ∪ A × C.
4. A × ( B ∩ C ) = A × B ∩ A × C.
7. relación o correspondencia
Dados dos conjuntos A y B, un subconjunto R del conjunto cartesiano A × B es una relación o
correspondencia.
7.1. tipos de correspondencia
Correspondencia unívoca: cada elemento del conjunto origen se corresponde con
sólo un elemento del conjunto imagen.
Correspondencia multívoca: a cada origen le corresponden varias imágenes o no
todas las imágenes tienen un único origen.
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