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Sumario Resumen Completo Asignatura Algébra

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Course
Álgebra

Institution
Universidad De Deusto (UDEUSTO)

Se trata de un resumen realizado a través de todas las presentaciones proporcionadas en la asignatura de Álgebra de la Universidad de Deusto. Con estos apuntes logré sacar un 9,5 y matrícula de honor. Aunque haya un salto del tema 2 al tema 5, no hay que preocuparse, esto sucede ya que el tem...

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Number of pages 21
Written in 2022/2023
Type Summary

algebra
autovector
ortogonal
vector
espacio euclideo
subespacio
diagonalización
matriz
sistemas de ecuaciones
espacios vectoriales
funciones
conjunto
subconjunto
inyectiva
sobreyectiva
matlab
sistema

Institution
Universidad de Deusto (UDEUSTO)
Education
Ingeniería Mecánica
Course
Álgebra

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Tema 1: conjuntos
conjunto: Colección de objetos (elementos).
→ Los elementos pertenecen al conjunto.
→ El conjunto contiene los elementos.
→ El conjunto está determinado por sus elementos.

𝑥 ∈𝐴 𝑥 ∉ 𝐴
1 ∈ 𝐴 ( 1 pertenece a A )
4 ∉ 𝐴 ( 4 no pertenece a A )

1. representación
- Representación por extensión: para conjuntos de pocos elementos, con
comas y entre llaves.
ej: 𝐴 = {1, 2, 3} 𝐴 = {2, 1, 3}
𝐴 = {3, 2, 3, 1}
- Representación por compresión:
𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑈 | "𝑥 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑"}
ej: 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁 | 𝑥 ≤ 3}
𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑁 | 𝑥 ≥ 3}
Conjunto vacío: conjunto sin elementos, forma parte de cualquier conjunto.
Conjunto universal: conjunto sin condición.
Cardinal de un conjunto (#A): el número de elementos que posee el conjunto A.
2. igualdad de conjuntos
Conjuntos iguales: son aquellos que tienen los mismos elementos.
𝐴 = 𝐵 ⇔ {(∀𝑥 ∈ 𝑈 | 𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝑈 | 𝑥 ∈ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴)}
Conjuntos distintos: existe al menos un elemento que no pertenece a alguno de los
conjuntos.
𝐴 ≠ 𝐵 ⇔ {(∃𝑥 ∈ 𝑈 | 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵) ∨ (∃𝑥 ∈ 𝑈 | 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴)}
3. subconjuntos
Decimos que un conjunto es un subconjunto del conjunto B si todos los elementos de A
pertenecen a B:
𝐴 ⊆ 𝐵 ⇔ (∀𝑥 ∈ 𝑈: 𝑥 ∈ 𝐴 ⟹ 𝑥 ∈ 𝐵)
→ Subconjunto propio: solamente si todos los elementos de A están en B y sí B tiene
elementos aparte de los de A.

, 3.1. propiedades de los subconjuntos
Propiedad fundamental del conjunto vacío: el conjunto vacío es subconjunto de A.
∀A ⊆ U: ∅ ⊆ A
Reflexividad: para todo conjunto A, A es subconjunto de A.
∀A ⊆ U: A ⊆ A
Antirreflexividad propia: para todo conjunto A, A no es subconjunto propio de A.
∀A ⊆ U: A ⊄ A
Antisimetría: Dos conjuntos A y B son iguales solo si A es subconjunto de B y B de A.
A=B⇔A⊆U∧B⊆A
Transitividad: Si tenemos tres conjuntos A, B y C, A es subconjunto de B y B es
subconjunto de C, entonces A es subconjunto de C.
A⊆B∧B⊆C⇒A⊆C
4. conjunto potencia
El conjunto potencia de A es el conjunto de todos sus subconjuntos (o partes):
P (A) = {x: x ⊆ A}
ej: 𝐴 = {1, 2, 3} 𝑃(𝐴) = {∅, 1 , 2 , 3 , 1, 2 , {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

5. operaciones con conjuntos
5.1. unión e intersección
Unión (A∪ B): conjunto formado tanto por los elementos de A como los de B.
A ∪ B = {x ∈ U| x ∈ A ∨ x ∈ B }
Intersección (A ∩ B): conjunto formado por los elementos tanto de A como de B.
A ∩ B = {x ∈ U| x ∈ A ∧ x ∈ B }
5.2. complemento de un conjunto
El complemento del conjunto A es un conjunto formado por todos los elementos que no
forman parte de A.
Ac = {x ∈ U| x ∉ A }
5.3. diferencia de conjuntos
Es el conjunto que contiene a aquellos elementos de A que no pertenecen a B.
A − B = x ∈ U|x ∈ A ∧ x ∉ B
A − B = A ∩ Bc
5.4. diferencia simétrica
Es el conjunto que contiene a aquellos elementos de A y no pertenecen a B, o bien que
están en B y no pertenecen a A.
A △ B = (A − B) ∪ (B − A)
5.5. propiedades algebraicas
Asociatividad A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C
A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
Conmutatividad A ∪ B = B ∪ A

, A∩B=B∩A
Idempotencia A ∪ A = A
A∩A=A
Absorción A ∩ ( A ∪ B ) = A
A∪(A∩B)=A
Identidad (neutro) A ∪ ∅ = A A ∪ U = U
A∩U=AA∩∅=∅
Distributividad A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
A ∪ B − C = (A − C) ∪ (B − C )
A∩B−C=A∩B−(A∩C)
Leyes de Morgan (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
A−A=∅
A=(A∩B)∪(A−B)
6. producto cartesiano
Llamaremos producto cartesiano de los conjuntos A y B al conjunto:
A × B = {x, y x ∈ A ∧ y ∈ B }

Que cumple las siguientes propiedades:
1. A × ∅ = ∅ × A = ∅ .
2. Si A ⊆ C y B ⊆ D , entonces A × B ⊆ C × D
3. A × ( B ∪ C ) = A × B ∪ A × C.
4. A × ( B ∩ C ) = A × B ∩ A × C.
7. relación o correspondencia
Dados dos conjuntos A y B, un subconjunto R del conjunto cartesiano A × B es una relación o
correspondencia.
7.1. tipos de correspondencia
Correspondencia unívoca: cada elemento del conjunto origen se corresponde con
sólo un elemento del conjunto imagen.
Correspondencia multívoca: a cada origen le corresponden varias imágenes o no
todas las imágenes tienen un único origen.

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