Summary
Samenvatting Financial and Actuarial Calculus
- Course
- Institution
- Book
Samenvatting Financial and Actuarial Calculus
[Show more]
Connected book
Book Title:
Author(s):
- Edition:
- ISBN:
- Edition:
Seller
Follow
Ivdl2022
Content preview
Week 1: LevensverzekeringenVeel bedrijven kennen pensioenregelingen die gewaardeerd moeten worden onder IFRS, Dutch
GAAP, of US GAAP. Daarnaast mogen directeur-grootaandeelhouder reserveren voor pensioen. Alle
aan te houden voorzieningen moeten kloppen.
Hoofdstuk 2: Financieel rekenen, hypotheken en leningen
Deze financiële rekenkunde wordt gebruikt in de andere hoofdstukken!
Interest is een gebruikelijke wijze om de waarde van het gebruik van geld aan te geven. Aan het
berekenen van interest zijn risico’s verbonden. Echter is bij een juiste toepassing interest het
smeermiddel om economische activiteit te verkrijgen.
2.2 Hoofdsom, nominale en effectieve interest
Hoofdsom: het bedrag van het aanvankelijk geleende of uitgeleende kapitaal waarbij de
eventuele lopende of vervallen interest buiten beschouwing wordt gelaten
Interest; vergoeding voor geleend of uitgeleend kapitaal
o Samengestelde interest; interest over interest; interest die berekend wordt over
zowel de hoofdsom als over de geaccumuleerde interest zelf.
o Enkelvoudige interest; interest die berekend over uitsluitende de hoofdsom
Interestperunage (i): Het interestpercentage gedeeld door 100; 5% = 0.05 interestperunage
Samengestelde interest: spaarrekening waar tussentijds geen extra geld op wordt gezet, en ook
geen geld wordt afgehaald. Na n jaar is het kapitaal (K(n)) dan aangegroeid tot;
K ( n )=K ( 0 )∗(1+ i)n
Hierbij hoeft n niet een gehele waarde te zijn, maar n is wel altijd groter dan of gelijk aan 0.
Enkelvoudige interest: jaarlijks wordt het bedrag dat is genoten aan interest van de spaarrekening af
gehaald; de i wordt enkelvoudig toegepast, Na n jaar is het kapitaal (K(n)) dan aangegroeid tot;
K ( n )=K ( 0 )∗(1+ n∗i)
Nominale en effectieve interest: als de interest niet wordt berekend op jaarbasis, maar over een
andere periode; periode dat iemand rood staat bij de bank. De bank kan een 12% nominale debet
interest berekenen (12% / 12 maanden = 1% per maand effectief). De interest per periode wordt
enkelvoudig op jaarbasis weergegeven maar wordt samengesteld toegepast.
ontvangen of betaalde interest
- Effectief: =% aan interest ontvangen of betaald
startkapitaal of startschuld
- Effectieve interest inclusief kosten (annual percentage rate); totale kosten van een
geldlening waarbij de bijkomende kosten over het geleende bedrag omgeslagen zijn zodat
het interest betreft; administratiekosten. Dit geeft aan hoeveel een lening precies kost. In de
EU moet deze vorm van effectieve interest verplicht opgegeven worden (< 50.000).
Als het nominale interestperunage p is (nominale interest p * 100%), en de betalingstermijnen
maanden zijn, dan wordt het effectieve interestperunage r (effectieve interest r * 100%).
{( ) }
x∗ 1+
p 2
12
−1
( )
12
p
r = 1+ −1=
12 x
Verschil begin- en eindschuld:
{( ) }
2 2
p p
x ¿ (1+ ) −x=x∗ 1+ −1
12 12
1
,In het geval van wekelijkse betalingstermijnen wordt de 12 vervangen door 52!!
2.3 Sparen op basis van samengestelde variabele interest
De interest kan per jaar verschillen, maar gedurende het jaar verandert hij niet. Hierbij zijn er
verschillende oprentingsfactoren.
3
K ( n )=K (0) ∏ ( 1+i t )
t =1
( 1+i 1 )∗( 1+i2 )∗( 1+i3 )
∏ geeft aan dat alle termen rechts van het teken met elkaar vermenigvuldigd moeten worden,
afhankelijk van de telvariabele t wat boven en onder het teken wordt vermeld (dummy variabele).
Regel van 72: vuistregel om de tijd die het duurt alvorens een kapitaal gegeven de interestvoet
verdubbeld is te berekenen. Hierbij is i het interestpercentage, zonder dat er gebruik wordt gemaakt
van het % teken (3%=3).
72
verdubbelingstijd (n)=
i
i i/100 N=72/i (1+i/100) ^n
1% 0.01 72 2.0470993
2% 0.02 36 2.0398873
3% 0.03 24 2.0327941
4% 0.04 18 2.0258165
6% 0.06 12 2.0121965
8% 0.08 9 1.9990046
9% 0.09 8 1.9925626
10% 0.10 7.2 1.9862199
Voor een aantal andere interestgroottes kan beter 70 worden gebruikt. Dit is
i i/100 N=70/i (1+i/100) ^n
3.5% 0.035 20 1.9897889
5% 0.05 14 1.9799316
7% 0.07 10 1.9671514
2.4 Slotwaarde en contante waarde
Slotwaarde (toekomstige/eindwaarde): eindkapitaal van een kapitaal dat opgerent wordt gedurende
de jaren. De slotwaarde van 1 of meer betalingen nu of in de toekomst is de waarde van deze
betalingen op een moment in de toekomst rekening houdend met samengestelde interest.
Contante waarde (huidige waarde): de waarde van 1 of meer betalingen nu of in de toekomst op dit
moment, rekening houdend met samengestelde interest. wat heb je nu nodig om later iets te kunnen
betalen; waarde berekenen van kapitaal K dat over een 15 jaar €1.000 waard is bij een interestvoet
van 4%, moet teruggerekend worden
1.000 1.000 −15
K= 15
= 15
=1.000∗1.04 =€ 555.26
( 1+ 4 % ) 1.04
Enkelvoudige slotwaarde/contante waarde: bij één betaling. Hierbij zijn de volgende verbanden;
n
SW =CW ∗(1+i)
SW −n
CW = n
=SW ∗(1+ i)
(1+i )
2.5 Meetkundige reeksen en annuïteiten
2
,Meetkundige reeksen: Slotwaarden en contante waarden kunnen uit rijen betalingen bestaan!
Hierbij gaat het over betalingen die steeds even groot zijn en op regelmatige basis betaald worden.
renderende maanden
K ( aantal betalingen )=spaarbedrag∗ ∑ interestperunage t =100∗¿
t =0
Je begint de berekening altijd met de laatste betaling!!
Meetkundige reeks (geometrische reeks): een rij getallen (an) wordt een reeks als de termen van de
rij opgeteld worden. Een meetkundige reeks wordt gevormd uit een meetkundige rij (an=an) waarbij
de termen bestaan uit de som van de termen uit de meetkundige rij. Een meetkundige rij is een rij
waarbij elke volgende term in de rij gevonden wordt dor deze te vermenigvuldigen met hetzelfde
getal; de reden.
n
r n =∑ at
t=1
* Meetkundige rij: 1/9, 1/3, 1, 3, 9 (volgende term door voorgaande met 3 vermenigvuldigen)
a, a2, a3, a4 (iedere volgende term vindt je door de voorgaande met a te vermenigvuldigen)
* Meetkundige reeks: 1/9+1/3+1+3+9 ; a+a2+a3+a4
Achterliggende berekening meetkundige reeksen;
n n
an+1 −1
( a−1 )∗∑ at =an +1−a 0 ∑ at =
t =0 t =0 a−1
Slotwaarden voor een regelmatige rij betalingen ter grootte 1 met duur n en interestperunage i; als
je de waarde achteraf wilt weten of achteraf gaat betalen en wilt weten hoeveel er dan betaald moet
worden, je gebruikt de slotwaarde om iets contant te maken naar rechts
Postnumerando slotwaarde; betalingen die aan het einde van een periode betaald worden
s¿ ¿
Prenumerando; serie betalingen die aan het begin van een periode betaald worden
s̈¿ ¿
Contante waarden voor een regelmatige rij betalingen; dit bedrag is nu nodig om later een betaling
te kunnen doen of iets te kopen; contant maken naar links waarbij het aantal uitkering gelijk zijn!
Postnumerando annuïteit: rij betalingen ter grootte van 1 met duur n en interestperunage i;
a ¿¿
Prenumerando annuïteit; een rij betalingen ter grootte van 1; de eerste uitkering is direct en
de laatste uitkering is aan het begin van het jaar. Deze waarde is hoger dan de CW van een
postnumerando annuïteit, want alle uitkeringen zijn 1 jaar eerder
ä ¿¿
Alle uitkeringen zijn 1 jaar eerder zijn, zijn dus 1+i hoger dan de postnumerando variant; er is nu
meer nodig omdat er eerder moet worden uitgekeerd
Indien je 1 formule weet, kun je de andere formules afleiden.
Annuïteiten: CW van regelmatige betalingen; berekenen van een gelijk betalingsbedrag per periode
voor aflossing en interest gezamenlijk; het te betalen bedrag (b) is iedere maand precies even hoog.
Een annuïteit kan prenumerando of postnumerando zijn (contante waarde!)
K
b=
a¿¿ ¿
koopsom=betalingen per jaar∗a¿ ¿
College
3
, Het interestpercentage kan heel volatiel/wisselend zijn, de marktrente kan per dag of maand
verschillen, maar kan ook vast zijn bij bijv. een hypotheek. Er zijn 4 verschillende soorten interest:
Nominale of effectieve interest: Het is belangrijk om altijd goed te lezen wat de
voorwaarden zijn! als je p weet kun je makkelijk zien wat de effectieve interest in, en
andersom kun je ook de nominale interest afleiden.
o Nominale interest; schijnbare interest. Je ziet dit bij persoonlijke leningen. De
jaarlijkse nominale interest is 8% = 4* 2% per kwartaal.
o Effectieve interest; de interest die je feitelijk betaalt; je betaalt interest over interest;
( 1+i )n; 1.024 =8.24 %
Samengestelde of enkelvoudige interest
∏ ¿ vermenigvuldigen (samengestelde interest )
∑ ¿ solmatieteken van optellen (enkelvoudige interest )
Verschillende interest per periode: de nominale interest bedraagt de som van de verschillende
interestpercentages (3+4=7%). De effectieve interest (t) bedraagt de vermenigvuldiging van de
samengestelde interest (1.03*1.04-1=7.12%).
Waardebepalingen: belangrijk in het vak. De waardebepalingen kunnen voorkomen in de vorm van:
Waarde van een kapitaal. Dit betreft altijd 1 bedrag!
o Contante waarde: waarde per heden of begin van de periode; welk bedrag je nu
moet hebben om over n jaar k bedrag te hebben.
o Slotwaarde: waarde aan het einde van een periode
Waarde van een reeks van betalingen;
o Contante waarde: waarde per heden van een reeks betalingen kan
Prenumerando; betaling aan het begin van de periode; 1/1/2020, 1/1/202
Postnumerando; betaling aan het einde van een periode. Dit kan per maand
zijn of per jaar; 31/1, 31/5, etc.
o Slotwaarde: deze kan prenumerando of postnumerando zijn
Er zijn een aantal redenen voor een hogere (te betalen) interestvergoeding:
o Langere duur; er is meer onzekerheid over hoe de markt zich ontwikkeld
o Inflatiecorrecties; als de inflatie hoger is wil je daar een vergoeding voor hebben
o Debiteurenrisico; hoe langer de periode van een lening, hoe meer onzekerheid er is over de
financiële situatie van iemand. Hoe groter debiteurenrisico, hoe hoger de interest
Reeksen: er zijn twee verschillende vormen reeksen
o Rekenkundige reeks: als jet het aantal ogen wilt weten van een dobbelsteen tel je alles bij
elkaar op. De notatie hiervoor is het sigma teken. De enkelvoudige interest is een
n
rekenkundige reeks. ∑ at
t −1
o Meetkundige reeks/geometrische reeks: veelvoorkomende vorm van samengestelde
interest. Deze vorm wordt gebruikt door een rentenier.
Intermezzo pensioenleeftijd (niet de AOW, maar aanvullend pensioen!)
De pensioenleeftijd was tot vrij recent 65 jaar (sinds 2018 68 jaar). Hierbij wordt er vanuit gegaan dat
je start met pensioenopbouw vanaf 25 jaar, waar door je 40 jaar premie betaald. En vervolgens tot je
85e een premie ontvangt; in totaal 20 jaar pensioen uitgekeerd. Je werkt gemiddeld 2 jaar voor 1 jaar
pensioen; 10 uur per week om pensioen te financieren, dit is 25% van het salaris. Door de verhoging;
- 43 jaar premie betalen; verhoging van 3 jaar, wat 7% meer premie inkomsten oplevert
- 17 jaar pensioenuitkering; verlaging van 3jaar, wat 15% minder uitkering is.
4
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller Ivdl2022. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $6.45. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
78252 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now