Summary
Résumé analyse 1 avec des exercices corrigées
- Course
- Institution
une résume bien détaillée avec des exercices corrigées pour Analyse 1
[Show more]
Seller
Follow
zouhairsabri
Content preview
Analyse 1 (SMPC), Chapitre 1
Les suites
1. Définitions
1.1. Définition d’une suite
Définition 1
– Une suite est une application u : N → R.
– Pour n ∈ N, on note u(n) par u n et on l’appelle n-ème terme ou terme général de la suite.
La suite est notée u, ou plus souvent (u n )n∈N ou simplement (u n ). Il arrive fréquemment que l’on consi-
dère des suites définies à partir d’un certain entier naturel n 0 plus grand que 0, on note alors (u n )nÊn0 .
Exemple 1
p p p
– ( n)nÊ0 est la suite de termes : 0, 1, 2, 3,. . .
n
– ³((−1)
´ )nÊ0 est la suite qui alterne +1, −1, +1, −1,. . .
– n12 . Les premiers termes sont 1, 14 , 91 , 16
1
, ...
nÊ1
1.2. Suite majorée, minorée, bornée
Définition 2
Soit (u n )n∈N une suite.
– (u n )n∈N est majorée si ∃ M ∈ R ∀ n ∈ N u n É M.
– (u n )n∈N est minorée si ∃ m ∈ R ∀ n ∈ N u n Ê m.
– (u n )n∈N est bornée si elle est majorée et minorée, ce qui revient à dire :
∃M ∈ R ∀n ∈ N | u n | É M.
+ M
+
+ +
+ + +
+
+
+ +
0 1 2 +
+ + m
1
, Les suites 2
1.3. Suite croissante, décroissante
Définition 3
Soit (u n )n∈N une suite.
– (u n )n∈N est croissante si ∀ n ∈ N u n+1 Ê u n .
– (u n )n∈N est décroissante si ∀ n ∈ N u n+1 É u n .
– (u n )n∈N est monotone si elle est croissante ou décroissante.
Remarque
– (u n )n∈N est croissante si et seulement si ∀ n ∈ N u n+1 − u n Ê 0.
– Si (u n )n∈N est une suite à termes strictement positifs, elle est croissante si et seulement si ∀ n ∈
u n+1
N u n Ê 1.
Exemple 2
.
La suite (u n )nÊ1 définie par u n = (−1)n /n pour n Ê 1, n’est ni croissante ni décroissante. Elle est
majorée par 1/2 (borne atteinte en n = 2), minorée par −1 (borne atteinte en n = 1).
1
1 +
2
+
+
1 2 3 4 5 6
+
+
− 12
-1 +
–
¡1¢
– La suite n nÊ1 est une suite décroissante. Elle est majorée par 1 (borne atteinte pour n = 1), elle
est minorée par 0 mais cette valeur n’est jamais atteinte.
2. Limites
2.1. Limite finie, limite infinie
Soit (u n )n∈N une suite.
Définition 4
La suite (u n )n∈N a pour limite ` ∈ R si : pour tout ε > 0, il existe un entier naturel N tel que si n Ê N
alors | u n − `| É ε :
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ∈ N (n Ê N =⇒ | u n − `| É ε)
On dit aussi que la suite (u n )n∈N tend vers `. Autrement dit : u n est proche d’aussi près que l’on veut
de `, à partir d’un certain rang.
, Les suites 3
`+ε
+ +
` +
un + + +
`−ε +
+
+
+
+ +
+
N n
Définition 5
1. La suite (u n )n∈N tend vers +∞ si :
∀A > 0 ∃N ∈ N ∀n ∈ N (n Ê N =⇒ u n Ê A)
2. La suite (u n )n∈N tend vers −∞ si :
∀A > 0 ∃N ∈ N ∀n ∈ N (n Ê N =⇒ u n É − A)
Remarque
1. On note limn→+∞ u n = ` ou parfois u n −−−−−→ `, et de même pour une limite ±∞.
n→+∞
2. limn→+∞ u n = −∞ ⇐⇒ limn→+∞ − u n = +∞.
3. On raccourcit souvent la phrase logique en : ∀ε > 0 ∃ N ∈ N (n Ê N =⇒ | u n − `| É ε). No-
ter que N dépend de ε et qu’on ne peut pas échanger l’ordre du « pour tout » et du « il existe ».
4. L’inégalité | u n − `| É ε signifie ` − ε É u n É ` + ε. On aurait aussi pu définir la limite par la
phrase : ∀ε > 0 ∃ N ∈ N (n Ê N =⇒ | u n − `| < ε), où l’on a remplacé la dernière inégalité
large par une inégalité stricte.
Définition 6
Une suite (u n )n∈N est convergente si elle admet une limite finie. Elle est divergente sinon (c’est-
à-dire soit la suite tend vers ±∞, soit elle n’admet pas de limite).
On va pouvoir parler de la limite, si elle existe, car il y a unicité de la limite :
Proposition 1
Si une suite est convergente, sa limite est unique.
Démonstration
On procède par l’absurde. Soit (u n )n∈N une suite convergente ayant deux limites ` 6= `0 . Choisissons
ε > 0 tel que ε < |`−2` | .
0
Comme limn→+∞ u n = `, il existe N1 tel que n Ê N1 implique | u n − `| < ε.
De même limn→+∞ u n = `0 , il existe N2 tel que n Ê N2 implique | u n − `0 | < ε.
Notons N = max(N1 , N2 ), on a alors pour ce N :
| u N − `| < ε et | u N − `0 | < ε
Donc |` − `0 | = |` − u N + u N − `0 | É |` − u N | + | u N − `0 | d’après l’inégalité triangulaire. On en tire
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller zouhairsabri. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $10.39. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
73243 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now