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Résumé Algebre 1 -Polynômes
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une résume bien détaillé du Algebre 1 -Polynômes
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ALGEBRE 1Polynômes
Dans tout ce chapitre on note K le corps des nombres réels ou le corps des nombres complexes.
1 Polynômes à une indéterminée
Définition 1.1 Un polynôme à coefficients dans K est une suite (an ) d’éléments de K nulle à
partir d’un certain rang.
(an ) = (a0 , a1 , . . . , ak , 0, 0, . . .)
Le scalaire ai est dit le coefficient d’indice i du polynôme (an ).
Notations 1.1
On note
1. 1 le polynôme (1, 0, 0, . . .).
2. X le polynôme (0, 1, 0, 0, . . .).
3. X k le polynôme (0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . .) où 1 est placé dans la position d’indice k.
Avec ces notations, si P = (a0 , a1 , . . . , an , . . .) est un polynôme on a
P = a0 (1, 0, 0, . . .) + a1 (0, 1, 0, 0, . . .) + · · · + an (0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . .)
= a0 .1 + a1 .X + · · · + an .X n
= a0 + a1 X + · · · + an X n .
Dans la suite on note K[X] l’ensemble des polynômes à coefficients dans K.
Remarques 1.1 1. Un polynôme P = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ K[X] est nul si, et seulement
si, tous les coefficients ai sont nuls.
2. Plus généralement, deux polynômes P = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ K[X] et Q = b0 + b1 X +
· · · + bm X m ∈ K[X] sont égaux si, et seulement si, pour tout i ≥ 0, ai = bi .
Définition 1.2 Soit P = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ K[X], avec an 6= 0.
On appelle degré de P , que l’on note deg(P ), l’entier naturel n. Le coefficient an sera dit le
coefficient dominant de P . Lorsque an = 1 on dit que P est unitaire.
Par convention, le degré du polynôme nul est −∞.
Remarque 1.1 Soit P = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ K[X], n = deg(P ). Alors pour tout m ≥ n
le polynôme P est aussi égal à a0 + a1 X + · · · + an X n + 0X n+1 + · · · + 0X m .
1
, On définit dans K[X] les opérations d’addition, de multiplication par un scalaire et de multi-
plication comme suit : Soit P = a0 + a1 X + · · · + an X n et Q = b0 + b1 X + · · · + bm X m deux
polynômes de K[X].
1. Somme :
Si m ≥ n on pose
P + Q = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )X + · · · + (an + bn )X n + bn+1 X n+1 + · · · + bm X m .
Si n ≥ m on pose
P + Q = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )X + · · · + (am + bm )X m + bm+1 X m+1 + · · · + bn X n .
2. Multiplication par un scalaire :
Pour tout λ ∈ K on définit λP = λa0 + λa1 X + · · · + λan X n .
3. Produit :
P × Q = c0 + c1 X + · · · + ck X k + · · · + cn+m X n+m .
avec
k
X
ck = a0 bk + a1 bk−1 + · · · + ak b0 = a` bk−` , 0 ≤ k ≤ n + m.
`=0
Notons que les deux opérations + et × munissent l’ensemble K[X] d’une structure d’anneau
commutatif unitaire.
Proposition 1.1 Soient P et Q deux polynômes de K[X]. On a :
1. deg(P + Q) ≤ max{deg(P ), deg(Q)},
2. deg(P Q) = deg(P ) + deg(Q).
Remarques 1.2 1. Soit P = 1 + X − X 2 et Q = 1 + X + X 2 . On a P + Q = 2 + 2X et
donc deg(P + Q) = 1. Ceci montre que le degré de la somme de deux polynômes peut être
strictement inférieur au maximum de leurs degrés.
2. Si deg(P ) 6= deg(Q) alors deg(P + Q) = max{deg(P ), deg(Q)}.
Exercice 1.1 Soient P, Q ∈ K[X] tels que P Q = 0. Montrer que P = 0 ou Q = 0.
Solution :
L’égalité P Q = 0 implique deg(P Q) = −∞ et donc deg(P )+deg(Q) = −∞. Alors deg(P ) = −∞
ou deg(Q) = −∞. Ceci montre que P = 0 ou Q = 0.
2 Division euclidienne
La division euclidienne dans l’ensemble des entiers relatifs Z s’étend naturellement à l’anneau
K[X].
Définition 2.1 Soit A, B ∈ K[X]. On dit que A divise B s’il existe un polynôme Q ∈ K[X] tel
que B = QA. On note A|B.
2
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