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Résumé Algebre 1 Calcul-matriciel
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Algebre 1 Calcul-matriciel
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ALGEBRE 1Calcul matriciel
Dans tout ce chapitre on note K le corps des nombres réels ou le corps des nombres complexes.
1 Définitions et propriétés
Définition 1.1 Une matrice de type n × p à coefficients dans K est un tableau d’éléments de K
comportant n lignes et p colonnes.
Dans la suite on délimite les tableaux correspondants aux matrices par des parenthèses.
1 −1 2 4
Exemples 1.1 1. 2 0 4 1 est une matrice de type 3 × 4 à coefficients réels.
−5 6 5 7
−1 2 i
2. 5 i + 2 4 est une matrice de type 3 × 3 à coefficients complexes.
0 5 7
1
6
−5 est une matrice de type 4 × 1 à coefficients réels.
3.
7
4. 1 −1 2 4 5 est une matrice de type 1 × 5 à coefficients réels.
On note aij le coefficient qui se situe à l’intersection de la ligne i et la colonne j. Ainsi toute
matrice de type n × p est de la forme :
a11 a12 a13 ··· a1p
a21
a22 a23 ··· a2p
a31
a32 a33 ··· a3p
.. .. .. .. ..
. . . . .
an1 an2 an3 · · · anp
Une matrice carrée d’ordre n est une matrice avec le même nombre de lignes et de colonnes
(n = p).
Une matrice de type n × 1 est dite un vecteur colonne. De même une matrice de type 1 × p est
dite un vecteur ligne.
1
, Notation 1.1 On note Mn,p (K) l’ensemble des matrices de type n × p à coefficents dans K.
Si A est un une matrice de Mn,p (K) on note A = (aij ), avec aij le coefficient qui se situe à
l’intersection de la ligne i et la colonne j.
Deux matrices A = (aij ) et B = (bij ) sont égales si elles sont de même type n × p et si aij = bij
pour ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ p.
Une matrice (aij ) ∈ Mn,p (K) dont tous les coefficients aij sont nuls s’appelle la matrice nulle de
Mn,p (K). On la note 0Mn,p (K) .
Une matrice carrée (aij ) d’ordre n telle que aii = 1 et aij = 0 lorsque i 6= j s’appelle la matrice
identité d’ordre n. On la note In .
Exemples 1.2
1 0
I2 =
0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
I4 =
0
0 1 0
0 0 0 1
On définit sur les matrices des opérations d’addition, de multiplication et de transposition comme
suit :
Addition Soit A = (aij ) et B = (bij ) deux matrices du même type n × p. La somme de A et
B, que l’on note A + B, est la matrice C = (cij ) de type n × p définie par
cij = aij + bij ∀1 ≤ i ≤ n ∀1 ≤ j ≤ p.
1 2 −3 2 3 −2
4 2 0 1 2 −1
Exemple 1.1 Soient les deux matrices A =
3 1 −3 et B = 2 4 −3 de
−1 0 3 1 1 3
M4,3 (R). Alors
3 5 −5
5 4 −1
A+B =
5 5 −6
0 1 6
La loi d’addition sur les matrices est commutative et associative. Précisément on a la proposition
suivante :
Proposition 1.1 – ∀A, B ∈ Mn,p (K) A + B = B + A.
– ∀A, B, C ∈ Mn,p (K) (A + B) + C = A + (B + C).
– ∀A ∈ Mn,p (K) A + 0Mn,p (K) = 0Mn,p (K) + A.
2
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