Class notes
Extra uitleg getallen op R lijn
- Course
- Institution
Meer dan alleen de reële getallen op een lijn; extra uitleg van de docent.
[Show more]
Seller
Follow
marjavdwind
Reviews received
Content preview
42 1. GETALLENEen lineair geordende lichaamsuitbreiding van de reële getallen*
Veel mensen denk bij het tekenen van een getallenlijn (een rechte lijn op het
papier) aan de reële getallen. We kunnen echter nog meer getallen dan de
reële getallen bedenken die zich ook laten representeren door zo’n getallenlijn.
Hieronder geven we een voorbeeld.
Beschouw de verzameling V van alle gebroken functies p(x)/q(x) met p(x)
en q(x) 6= 0 polynomen met coëfficiënten in R. Voorbeelden van elementen in
V zijn:
x2 3 x3 + x2 + 1 2, 34 ⇡
, 7 , en .
2x x 3x6 8 x 1
De reële getallen kun je opvatten als een deelverzameling van V , aangezien je
elk reëel getal r kunt opvatten als de constante functie 1r (oftewel 1r : R ! R
door x 7! 1r ).
Opgave 1.113. (U) Schrijf in de vorm p(x)/q(x).
1 1
a) x+2 + x+3
x2 +2x 7x 1
b) x5 · x+1
x2 +1
c) ( x ) 1
d) De additieve inverse van x35x
+1
e) De multiplicatieve inverse van x2
Je kunt met de elementen van V net zo rekenen als met de reële getallen (m.a.w.
de verzameling V is ook een lichaam). Om er voor te zorgen dat we V kunnen
voorstellen op de getallenlijn moeten we van elk tweetal verschillende elementen
in V zeggen welke het grootst is en welke het kleinst. Dit doen we als volgt:
voor v(x), w(x) 2 V geldt v(x) < w(x) precies dan als er een natuurlijk getal
n bestaat zodat voor alle r 2 R met r > n geldt v(r) < w(r). M.a.w. als de
grafiek van de functie v(x) vanaf een gegeven moment altijd onder de grafiek
van de functie w(x) ligt, dan geldt v(x) < w(x).
Opgave 1.114. (U) Gebruik de hoofdstelling van de algebra om aan te tonen
dat voor elke v, w 2 V geldt v < w, v = w óf v > w.
Opgave 1.115. (U) Plaats op de puntjes het juiste teken: <, >, =.
a) x1 .... 51
x2 7
b) 1000 .... 10
31
2
c) xx+11 .... x 1 1
d) x1 .... 1234 1
e) x1 .... x12
f) x+1
1 .... 1
x 1
Merk op dat het element x1 groter is dan elk reëel getall. Tevens geldt dat x1
kleiner is dan elk positief reëel getal.
Hoewel V een hoop eigenschappen heeft die R ook heeft (beide zijn immers
lineair geordende lichamen), is er toch een zeer belangrijke eigenschap die R
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller marjavdwind. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $5.36. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
52510 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now