Summary
Samenvatting Uitwerkingen inleveropgave week 11
- Course
- Institution
Kleinste bovengrens eigenschap - uitwerkingen inleveropgave week 11 Fundamenten van de wiskunde
[Show more]
Seller
Follow
marjavdwind
Reviews received
Content preview
FUNDAMENTEN 2021 – INLEVEROPGAVE WEEK 11MISJA F.A. STEINMETZ
√ √
In dit documnentje laten we zien hoe we de functie : R>0 → R gegeven door x 7→ x
definiëren door alleen gebruik te maken van de axioma’s van R en de supremumeigenschap.
Voor alle x ∈ R definiëren we x2 = x · x. Dit is Definitie 2.3.1 uit [1]. Neem nu een vaste
r ∈ R>0 . Dan kunnen we de verzameling definiëren
Tr = {x ∈ R | x2 < r}.
Deze verzameling is niet leeg, want 0 · 0 = 0 (Lemma 2.3.2(7)) en 0 < r (per definitie van r).
Dus 0 ∈ Tr .
Stel nu dat y ∈ R zodanig dat y > r en y > 1. Dan geldt dat r · y < y · y (Defn 2.2.1(m),
Lem. 2.3.3(8) en Defn. 2.2.1(k)). Ook geldt r · y = y · r (Defn. 2.2.1(f)). Omdat 1 < y en
r > 0 moet ook gelden dat 1 · r < y · r (Defn 2.2.1(m)). Al met al trekken we de conclusie dat
r < y 2 (Defn. 2.2.1(k), (g) en (f)). Dit betekent dat y ∈
/ Tr als y > max(r, 1), dus Tr is van
boven begrensd.
Nu gebruiken we de supremumeigenschap van R om te concluderen dat Tr een supremum
moet hebben in R, noem dit sup(Tr ). Nu kunnen we de wortelfunctie definiëren als
√
: R>0 → R
r 7→ sup({x ∈ R | x2 < r}).
√
We merken op dat formeel gezien dit de definitie van r is voor een r ∈ R>0 , dus we hoeven
niet te bewijzen dat deze functie√aan bepaalde eigenschappen voldoet. Als je dat wilt, dan kan
je als opgave zelf bewijzen dat ( r)2 = r voor alle r ∈ R>0 , maar dit is geen onderdeel van de
inleveropgave. Merk op dat je dit laatste feit min of meer al bewezen hebt in Opgave 1.6.2(b)
– het bewijzen van deze eigenschap zal heel erg lijken op de uitwerking van Opgave 1.6.2(b).
References
[1] Ethan D. Bloch, The Real Numbers and Real Analysis, Springer New York, 2011.
Date: 29 november 2021.
1
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller marjavdwind. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $5.36. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
53340 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now