Class notes
Extra toelichting opgave 16.2 | Fundamenten van de wiskunde
- Course
- Institution
Extra toelichting opgave 16.2 | Fundamenten van de wiskunde
[Show more]
Seller
Follow
marjavdwind
Reviews received
Content preview
FUNDAMENTEN 2021 – OPGAVE 1.6.2MISJA F.A. STEINMETZ
In dit document geef ik een schets van de uitwerking van Opgave 1.6.2. Om de inleveropgave
te kunnen maken moet je meer doen dan wat in de schets hieronder gegeven is. Echter, Lemma
A hieronder en standaard resultaten over eigenschappen van elementen van Q uit sectie 1.5 of
eerdere secties van [1] mag je zonder verwijzing gebruiken. De precieze details van het bewijs
moet je zelf invullen voor de inleveropgave.
Ter verduidelijking, voor de inleveropgave mag je gebruiken:
• Lemma A hieronder zolang je ernaar verwijst;
• Standaard eigenschappen van (elementen van) Q uit sectie 1.5 (of eerder) van [1] zonder
verwijzing;
• Opgaven uit [1] uit sectie 1.5 of eerder zolang je ernaar verwijst.
1. Lemma A
Eerst bewijzen we een lemma dat je, met verwijzing, mag gebruiken voor de inleveropgave.
Zonder dit lemma is Opgave 1.6.2 heel moeilijk denk ik. Mocht iemand een oplossing hebben
voor de opgave zonder dit lemma te gebruiken, laat het me dan vooral even weten – ik laat me
graag verbeteren!
Omdat dit Lemma eigenlijk een opgave uit sectie 1.5 zou moeten zijn zal ik proberen
zorgvuldig te verwijzen naar stellingen uit 1.5 (en eerder) die ik gebruik.
Lemma A. Laat r, s ∈ Q. Stel dat r > 1
2
en s > 0. Als r2 > s, dan bestaat er een k ∈ N zodanig
dat r − k1 > 0 en (r − k1 )2 > s.
Bewijs. Stel dat r, s ∈ Q zodanig dat r > 12 , s > 0 en r2 > s. Omdat 2 > 0 (Defn. 1.3.3 en Thm.
1.5.6(3d)), geldt 2r > 1 (Thm. 1.5.5(13)). Dan geldt ook 2r − 1 > 0 (Thm. 1.5.5(12)). Omdat
r2 −s
r2 > s, geldt r2 − s > 0 (Thm. 1.5.5(12)). Dan ook 2r−1 > 0 want (r2 − s) · 1 > (2r − 1) · 0 = 0
(Lem. 1.5.8(6) en Lem. 1.3.8(4)).
Nu zegt Opgave 1.5.9(2) – twee keer gebruikt – dat er n, m ∈ N bestaan zodanig dat m1 < r
r2 −s
en n1 < 2r−1 . Laat nu k = max(n, m) + 1. Dan k ∈ N, dus k > 0 (Thm. 1.3.7(2)). Bovendien
geldt k > n en k > m. Dus zien we dat k1 < n1 en k1 < m1 (Lem. 1.5.8(6)). In het bijzonder geldt
r2 −s
dat k1 < 2r−1 en k1 < r (Thm. 1.5.5(11)). Hieruit volgt meteen dat r − k1 > 0 (Thm. 1.5.5(12)).
Daarnaast k 2 > k (Thm. 1.2.9(5) en k > 1), dus k12 < k1 (Lem. 1.5.8(6)). Daarom volgt uit
Thm. 1.5.5(11) dat
1 r2 − s
(1) < .
k2 2r − 1
Nu zien we dat
1 2r 1
(r − )2 = r2 − + 2 (allerlei uit Thm. 1.5.5 en Lem. 1.5.8)
k k k
1 − 2rk
= r2 + (Lem. 1.5.8(2),(3),(4)).
k2
Omdat k > 1, 2 > 0 en r > 0, geldt 2k > 2 en 2kr > 2r (Thm. 1.5.5(13), twee keer).
Dus geldt ook −2kr < −2r (Exercise 1.5.6(2)). We concluderen dat 1 − 2kr < 1 − 2r en dat
r2 + 1−2rk
k2
< r2 + 1−2r
k2
(Thm. 1.5.5(12), twee keer, en (13)). Daarom geldt nu
Date: 18 november 2021.
1
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller marjavdwind. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $5.90. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
53340 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now