Summary
Samenvatting Uitwerkingen week 8 | Fundamenten van de wiskunde
- Course
- Institution
Inleveropgave uitwerkingen
[Show more]
Seller
Follow
marjavdwind
Reviews received
Content preview
Fundamenten uitwerkingen inleveropgave week 819 november 2021
Inleveropgave:
Gegeven en te bewijzen opschrijven: 1pt
Gegeven: de rij (an )n∈N gedefinieerd door a1 = 1, a2 = 1 en an + 2 = an+1 + an voor
n ∈ N.
Te bewijzen (via volledige inductie): ggd(an+1 , an ) = 1 voor n ∈ N.
Bewijs. .
Een inductiebegin geven : 1pt, ook juist uitvoeren: 1pt (totaal 2pt).
Als inductiebegin moeten we aantonen dat ggd(a2 , a1 ) = 1.
Aangezien ggd(a2 , a1 ) =ggd(1, 1) = 1 geldt inderdaad dat de stelling waar is voor n = 1.
Voor n = 2 merken we op dat ggd(a3 , a2 ) =ggd(2, 1) = 1.
Een correcte inductiehypothese geven : 1,5pt.
We nemen nu aan dat voor n = k met een vaste, doch willekeurige k ∈ N≥2 , er geldt dat
ggd(ak+1 , ak ) = 1.
Inductiestap : 4pt
We bekijken nu ggd(ak+2 , ak+1 ) =ggd(ak+1 +ak , ak+1 ). We merken op dat rest van ak+1 +ak na
deling door ak+1 gelijk is aan ak dit aangezien ak+1 > ak (hierom hebben we ook het geval n =
2 apart bekeken en k ∈ N≥2 genomen). Dus geeft Lemma V.3.6 dat ggd(ak+2 , ak+1 ) =ggd(ak+1 +
ak , ak+1 ) = ggd(ak+1 , ak ). Uit de inductiehypothese volgt ggd(ak+2 , ak+1 ) = ggd(ak+1 , ak ) =
1.
Daarmee is de stelling ook waar voor n = k + 1.
Uiteindelijke conclusie geven en benoemen dat deze uit inductie volgt : 1,5pt.
Uit inductie volgt nu dat ggd(an+1 , an ) = 1 voor elke n ∈ N.
1
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller marjavdwind. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $5.90. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
53340 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now