Dit is een samenvatting van het vak Wiskunde II aan de VUB. Het omvat de uitleg van alle theoretische concepten zoals ze aangehaald zijn in de hoorcolleges, aangevuld met de volledige uitwerkingen van de bewijzen, stellingen, etc
,H1: Functies van meerdere
veranderlijken
Algemene begrippen
Reële functies van n veranderlijken
Een reële functie van n veranderlijken f: IRn IR associeert met elk geordend n-tal (x1, x2, …, xn)
van IRn hoogstens één reële waarde z = f(x1, x2, …, xn) van IR.
➢ (x1, x2, …, xn) kan ook worden genoteerd als x
Een reële functie van 2 veranderlijken associeert met elk koppel (x, y) van IR² hoogstens 1 waarde
z = f(x, y) van IR.
f: IR² IR: (x, y) f(x, y) = z
Voorbeeld :
- Veeltermfunctie
- Kostenfunctie
o (pL, pK) z = waarde kost bij gegeven K & L
Domein en waardenverzameling
Het domein D(f) van f: IR² IR is de verzameling geordende n-tallen (x1, x2, …, xn) waarmee een
functiewaarde z = f(x1, x2, …, xn) kan worden geassocieerd.
- Waarden waarvoor het zinvol is om de functiewaarde te berekenen
o Welke waarden van IRn zijn zinvol
D(f) IRn
De waardeverzameling W(f) is de verzameling van de functiewaarden
- Waarden die je uitkomt na je berekening
W(f) IR
Voorbeelden pg 3 in cursus
Grafische voorstelling
Grafische voorstelling in de ruimte
Functie van 2 veranderlijken assenstelsel met 3 coördinaatassen (X-, Y-, Z-as)
- P(a,b,c) wordt voorgesteld in de ‘ruimte’
o Xy vlak ligt horizontaal
- Met elk geordend 3-tal (a,b,c) komt één punt P in de ruimte overeen
- De verzameling van de punten {(x, y, z) IR³ | z = f(x, y, z)} oppervlak in de ruimte
Niveaukrommen
Doorsneden met horizontale vlakken z = k
- Om voor bepaalde functies van 2 veranderlijken de grafische voorstelling voldoende
precies te tekenen
Voor de functie z = f(x, y) en voor k IR is de niveaukromme:
Nk = {(x, y) IR² | f(x, y) = k}
- Voor een functie van twee veranderlijken : Nk IR²
Voorbeeld:
- Alle productieniveaus waarvoor er een dezelfde winst is winst = k
- Isonutscurve en isokostcurve nut en kost = k
Voorbeeld pg 4 in cursus
1
,Partiële afgeleiden
Partiële afgeleide van de eerste orde
De partiële afgeleide van f : IRn IR naar de veranderlijke xi is
𝑓(𝑥1 , … , 𝑥𝑖 − ∆𝑥1 , … , 𝑥𝑖 ) − 𝑓(𝑥1 , … , 𝑥𝑖 , … 𝑥𝑛 )
lim
∆𝑥𝑖−→0 ∆𝑥1 𝑥𝑖
𝜕𝑓
Notatie: 𝜕𝑥 (𝑥1 , … , 𝑥𝑖 )
𝑖
𝜕𝑓
De partiële afgeleide berekend in een punt noteert men als: (𝜕𝑥 )
𝑖 (𝑎1 ,…,𝑎𝑛 )
Berekenen:
- Kijken naar 1 van de veranderlijken en de andere constant houden afleiden naar de
gekozen veranderlijke
Meetkundige interpretatie
We beperken ons enkel tot een functie van 2 veranderlijken
Voor een punt (a, b) D(f) voert men de partiële functies fa en fb in
fa: IR IR, y z = fa(y) = f(a, y)
fb: IR IR, x z = fb(x) = f(x, b)
Je neemt x als een constant (partieel afleiden naar y) dit wordt nu een functie van 1 veranderlijke
We kijken dus eigenlijk naar de doorsnede van de grafiek waar x = a
De partiële afgeleide van f naar y in (a, b) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn Rb(p) aan de
kromme z = fb(x) in het punt p = (a, b, f(a,b))
- Voor de partiële afgeleide naar x
- Is analoog voor de partiële afgeleide naar y
Het vlak gevormd door de 2 raaklijnen wordt het raakvlak genoemd
Voorbeelden pg 6 in cursus
Partiële afgeleiden van hogere orde
Nadat je een functie een keer hebt afgeleid, kan je die uitkomst opnieuw afleiden. Dit geeft 4
mogelijkheden.
1. 2 keer naar y afleiden
𝜕²𝑓
𝜕𝑦²
2. 2 keer naar x afleiden
𝜕²𝑓
𝜕𝑥²
3. Eerst naar x afleiden en dan naar y afleiden
𝜕²𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
4. Eerst naar y afleiden en dan naar x afleiden
𝜕²𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
Totale differentiaal
Voor een functie van twee veranderlijken f(x, y), waarbij x en y op hun beurt functies zijn van een
parameter t
- x = x(t) en y = y(t)
𝑑𝑓 𝜕𝑓 𝑑𝑥 𝜕𝑓 𝑑𝑦
= ∗ + ∗ = totale afgeleide
𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑦 𝑑𝑡
➢ Vermenigvuldigen met dt
𝜕𝑓 𝜕𝑓
𝑑𝑓 = 𝜕𝑥 𝑑𝑥 + 𝜕𝑦 𝑑𝑦 = totale differentiaal
Voorbeeld pg 8 in cursus
2
, Ongebonden extrema en hessiaan
De functie f: IRn IR, x f(x) heeft een lokaal maximum in het punt a als er een - omgeving
O(a) van a bestaat waarvoor:
∀𝑥 ∈ 𝑂𝜀 (𝑎): 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑎)
- Lokaal betekend dat dit het maximum is in deze omgeving, maar dat betekend niet dat dit
het absoluut maximum is
Voorbeeld:
- Winst hangt af van meerder veranderlijken: welke combinatie brengt de maximale winst
op
F heeft een lokaal minimum in het punt a als er een - omgeving O(a) van a bestaat waarvoor:
∀𝑥 ∈ 𝑂𝜀 (𝑎): 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑎)
Een lokaal extremum is een lokaal maximum of een lokaal minimum (op beide te omvatten)
- Om het absolute extremum te vinden moet je de lokale extrema met elkaar vergelijken
-
Extrema voor functies van twee veranderlijken
𝜕𝑓 𝜕𝑓
Als 𝜕𝑥 en 𝜕𝑦 bestaan in (a, b) en als f een lokaal extremum heeft in (a, b) dan geldt:
𝜕𝑓 𝜕𝑓
( ) = 0 𝑒𝑛 ( ) = 0
𝜕𝑥 𝑎,𝑏 𝜕𝑦 𝑎,𝑏
- Wij gaan bij deze stap opzoek naar kandidaten voor de extrema
- Op de top van de ‘berg’
o Het raakvlak staat horizontaal
o Je hebt de twee raaklijnen op de doorsneden
▪ Horizontale rechte lijn: rico = 0
▪ Op de doorsnede zijn ook raaklijnen partiële afgeleide = 0
- Je hebt kans op een extrema als er een horizontaal raakvlak is en hiervoor moeten de
partiële afgeleiden gelijk zijn aan nul
𝜕𝑓 𝜕𝑓
Een punt (a, b) waarvoor ( ) = 0 en ( ) = 0 wordt een stationair punt genoemd.
𝜕𝑥 𝑎,𝑏 𝜕𝑦 𝑎,𝑏
- Dit zijn nodige voorwaarden, maar geen voldoende voorwaarden
➢ Niet elk stationair punt resulteert noodzakelijk in een lokaal extremum
o Voorbeeld pg 9 in cursus
Een zadelpunt is een punt waarvoor de doorsnede x = a een minimum/maximum bereikt en de
doorsnede y = b een maximum/minimum bereikt.
- Bijgevolg is dit geen minimum, noch een maximum
Voorbeeld:
- Minimum kosten
- Maximum winst
- In een zadelpunt zijn we in de economie niet geïntresseerd
Hessiaan
Stationaire punten zijn kandidaat extrema, maar om zeker te weten of het om een extremum
gaat moet men de Hessiaan H berekenen (=voldoende voorwaarde)
𝜕²𝑓 𝜕𝑓
( ) ( )
𝜕𝑥² 𝑎,𝑏 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝑎,𝑏 𝜕²𝑓 𝜕2𝑓 𝜕𝑓
𝐻𝑓 (𝑎, 𝑏) = 𝑑𝑒𝑡 =( ) ∗ ( 2 ) − (( ) )²
𝜕²𝑓 𝜕²𝑓 𝜕𝑥² 𝑎,𝑏 𝜕𝑦 𝑎,𝑏 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝑎,𝑏
( ) ( )
( 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝑎,𝑏 𝜕𝑦² 𝑎,𝑏 )
- Het is analoog zoals bij 1 veranderlijke
o Je kijken naar de tweede orde afgeleide of het extremum convex/concaaf of een
buigpunt is
3
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller abollen. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $5.87. You're not tied to anything after your purchase.
