Options, Futures, and Other Derivatives, Global Edition
Samenvatting Financieel Risicomanagement gegeven door professor D.Heyman.
Oefensessies zijn niet opgenomen, gastcollege over IFRS evenmin (slides voldoende). Errata:
- P31 onderaan: logica moet omgewisseld worden (als rf > r dan daalt F) zie formule
,Inhoudsopgave
1 Inleiding 6
1.1 Forwards 7
1.2 Futures 8
1.3 Options 9
1.4 Soorten handelaars 10
1.4.1 Hedging 10
1.4.2 Speculeren 11
1.4.3 Arbitrage 12
1.5 Gevaren 12
1.6 Hedge Funds 12
2 Mechanics of Futures markets 13
2.1 Kenmerken van futures 13
2.2 Convergentie van futures naar de spot prijs toe 13
2.3 Margins 14
2.3.1 Voorbeeld 14
2.3.2 Verdere details 15
2.3.3 The clearing house and clearing margins 15
2.3.4 Kredietrisico 15
2.4 Collateralization in OTC markets 16
2.5 Types van traders: 16
2.6 Types orders: 16
2.7 Vergelijkende tabel: 17
3 Hedging strategies using futures 17
3.1 Long & short hedges 17
3.1.1 Short hedging 17
3.1.2 Long hedging 17
3.2 Argumenten pro en contra hedgen 18
3.3 Basis risk 18
3.3.1 Long hedge voor de aankoop van een actief 19
3.3.2 Short hedge voor de verkoop van een actief 19
3.4 Keuze van het contract 19
3.5 Optimale aantal contracten 20
3.6 Stack and roll 20
3.7 Liquiditeitsproblemen 20
4 Intrestvoeten 21
4.1 Soorten intrestvoeten 21
4.1.1 Treasury rates 21
4.1.2 LIBOR 21
4.1.3 Repo Rates 21
4.2 Intrestvoeten meten 22
4.2.1 Continu kapitaliseren ( m => oneindig) 22
4.2.2 Conversieformules 22
4.3 Zero rates of spot rate 23
4.4 Obligatieprijs bepalen 23
4.4.1 Bond yield 23
4.4.2 Par yield 23
4.5 Hoe zero rates voor staatsobligaties bepalen? 24
4.6 Forward rates 25
4.7 Forward rate agreement 26
5 Bepalen van de prijs van forwards en futures 27
5.1 Investment assets vs consumption assets 27
5.2 Short selling 27
5.3 Notaties 28
5.4 Forward prijs voor een investeringsactief 28
5.4.1 Arbitrage opportuniteiten 28
5.4.2 De prijs van een forward 29
5.5 Wat met gekende opbrengsten? 29
5.6 Wat met gekende opbrengst? 30
5.7 Een forward-contract waarderen 30
2
, 5.8 Futures-prijzen voor aandeelindexen 30
5.9 Forwards en futures op wisselkoersen 31
5.10 Futures op grondstoffen 32
5.10.1 Inkomst en opslagkost 32
5.10.2 Consumptiegrondstoffen 32
5.11 Cost of carry (kost aanhouden grondstoffen) 33
6 NK 33
7 Swaps 33
7.1 Plain vanilla interest rate swap 33
7.1.1 Swap om schuld om te vormen 34
7.1.2 Swap om investering om te zetten 35
7.1.3 Swap market makers 35
7.2 Confirmations 36
7.3 Argument van het comparatief voordeel 36
7.4 Waarderen van een renteswap 37
7.4.1 Waardering in termen van obligatieprijzen 37
7.4.2 Waardering in termen van FRA’s 38
7.5 Valutaswap 39
7.6 Waardering van een valutaswap 40
7.6.1 Voorbeeld waardering zoals bij obligaties 40
7.6.2 Voorbeeld waardering zoals bij portfolio met forward contracten 40
7.6.3 Swaps and forwards 40
7.7 Kredietrisico 41
7.8 Andere soorten swaps 41
8 Hoofdstuk niet te kennen 42
9 Mechanics of the option market 42
9.1 Soorten opties 42
9.2 Optieposities 42
9.2.1 Long call 42
9.2.2 Short call 43
9.2.3 Long put 43
9.2.4 Short put 43
9.2.5 Pay-off 44
9.3 Onderliggende waarden bij opties 44
9.4 Details van aandelenopties 44
9.5 Terminologie 45
9.6 Market Makers 45
9.7 Margins 45
9.8 Andere soorten opties 46
9.8.1 Warrants 46
9.8.2 Opties voor werknemers (employee stock options) 46
9.8.3 Converteerbare obligaties 46
10 Eigenschappen van aandelenopties 46
10.1 Notaties 46
10.2 Beïnvloedende factoren 47
10.3 Prijsgrenzen 48
10.3.1 Bovengrenzen 48
10.3.2 Ondergrens voor calls op aandelen zonder dividend 49
10.3.3 Ondergrens voor puts op aandelen zonder dividend 49
10.3.4 Put-call parity 49
10.3.5 Vervroegde uitoefening 50
10.3.6 Aanpassing grenzen indien er wel dividenden uitbetaald worden 52
11 Trading strategies involving options 53
11.1 Principal protected note 53
11.2 Combinatie van posities in optie en onderliggende waarde 53
11.3 Spread 54
11.3.1 Bull spread using calls 54
11.3.2 Bull spread using puts 54
11.3.3 Bear spread using puts 55
11.3.4 Bear spread using calls 55
3
, 11.3.5 Box spread 56
11.3.6 Butterfly spread using calls 56
11.3.7 Butterfly spread using puts 57
11.3.8 Calendar spread 57
11.4 Andere payoff patronen 58
11.4.1 Straddle combination 58
11.4.2 Strip and strap 58
11.4.3 Strangle 59
11.4.4 Diversen 59
12 Binomial trees 60
12.1 One-step binomial model and a no-arbitrage argument 60
12.1.1 Veralgemening van de formules 61
12.2 Risico-neutrale waardering 62
12.3 Two-step binomial trees 62
12.4 Voorbeeld met een put-optie 63
12.5 Amerikaanse opties 63
12.6 Delta Δ 64
12.7 Volatiliteit: u en d 64
12.8 Activa andere dan aandelen zonder dividend 65
13 Wiener processen en Itô’s Lemma 65
13.1 Markov proces 65
13.1.1 Wiener-proces 65
13.1.2 Het Wiener-proces veralgemeend 66
13.1.3 Itô proces 67
13.2 Het proces voor aandelenprijzen 67
13.2.1 Monte Carlo simulatie 67
14 Black-Scholes-Merton Model 68
14.1 Volatiliteit 68
14.1.1 Volatiliteit schatten adhv historische data 69
14.1.2 Trading days vs calendar days 69
14.2 Concepten achter het BSM-model 69
14.3 BSM formules voor prijsbepaling 69
14.3.1 De N(x) functie 70
14.3.2 Eigenschappen van de BSM-formule 70
14.4 Impliciete volatiliteit 71
14.5 Dividenden 71
14.6 Amerikaanse call opties 71
15 De Griekse letters 72
15.1 Inleidend voorbeeld 72
15.2 Naked & covered positions 72
15.3 Stop-loss strategie 72
15.4 Delta-hedging 73
15.4.1 Delta voor Europese aandelenopties 74
15.4.2 Kostimplicaties van de strategie 74
15.4.3 Voorbeeld 74
15.4.4 Performance van delta-hedging 76
15.5 Theta Q 76
15.6 Gamma (G) 77
15.6.1 Variatie van Gamma tov prijs onderliggende 77
15.6.2 Belang van gamma voor uw hedge-strategie 77
15.6.3 Interpretatie van gamma 78
15.7 Vega (n) 79
15.8 Taylor-serie uitbreiding 79
15.9 Delta, Gamma en Vega beheren 80
15.10 Rho 80
15.11 Hedgen in de praktijk 80
15.12 Scenarioanalyse 81
15.13 Greeks indien er opbrengst (q) is 81
16 Volatility Smiles 82
16.1 Volatility smile voor opties op vreemde valuta 82
4
, 16.1.1 Impliciete verdeling 82
16.1.2 Oorzaken voor de “smile” bij opties op vreemde valuta 83
16.1.3 Empirisch onderzoek obv historische gegevens 83
16.2 Volatility smile voor aandelenopties 83
16.2.1 Impliciete verdeling 83
16.3 Alternatieve manieren om de volatility smiles te beschrijven 84
16.4 Volatility term structure 84
16.5 Wat als een extreme jump wordt verwacht? 85
17 Kredietrisico 86
17.1 Kredietratings 86
17.2 Default rates 86
17.2.1 Country default rates 87
17.2.2 Default rating voor verschillende termijnen en ratings 87
17.3 Hazard rates 88
17.4 Recovery rate 88
17.5 Default-kansen gaan schatten 89
17.5.1 Default kans schatten adhv obligatieprijzen 89
17.5.2 Default kansen berekenen adhv aandeleprijzen: Merton’s Model 91
17.6 Kredietrisico bij transacties met derivaten 92
17.7 Algemene resultaten 92
17.8 Beperken van het kredietrisico 92
17.8.1 Netten 92
17.8.2 Collateralization (onderpand gebruiken) 93
17.8.3 Downgrade triggers 93
17.9 Default correlation 93
17.9.1 Hoe gaan we default correlation gaan meten? 93
17.9.2 4 soorten Copula’s 93
18 Kredietderivaten 94
18.1 CDS: Credit Default Swap 94
18.1.1 Kenmerken 94
18.1.2 CDS premies 94
18.1.3 Voordelen van de CDS-markt 95
18.1.4 CDS-markt: grootte 95
18.1.5 Een CDS gebruiken om een obligatie te gaan hedgen 95
18.1.6 Default probabilities afleiden van de CDS-spread 96
18.1.7 CDS en kredietratings 96
18.2 CDS Forwards en opties 96
18.3 Basket CDS 97
18.4 Total return swap 97
18.5 ABS: Asset Backed Securities 97
18.6 CDO: Collateralized Debt Obligation 98
19 VaR (Value at Risk) 99
19.1 VaR vs Expected Shortfall (C-VaR) 99
19.2 Historische simulatie 100
19.3 Model-building approach 102
19.3.1 Dagelijkse volatiliteit 102
19.3.2 Single-asset approach 102
19.3.3 Two-asset approach (voor portefeuilles) 102
19.4 Het lineair model 103
19.4.1 Toepassing op ons voorbeeld (Microsoft en AT&T) 104
19.4.2 Covariantie-matrix (minder belangrijk) 104
19.4.3 Wanneer gebruiken we lineaire modellen? 104
19.4.4 Het lineaire model toepassen op opties 105
19.5 Kwadratisch model 105
19.6 VaR berekenen adhv Monte-Carlo simulatie 105
19.7 Vergelijking van de verschillende benaderingen voor de VaR 106
19.8 Stress-testing 106
19.9 Back-testing 106
19.10 Principal components analysis (PCA) 106
5
,1 Inleiding
Wat is een derivaat?
ð Een instrument waarvan de waarde afhangt (of afgeleid is) van een ander instrument.
ð Voorbeelden: futures, forwards, swaps, options, ...
ð Vaak is de onderliggende waarde een aandeel
Waarom zijn derivaten belangrijk?
ð Goeie tool om risico over te dragen van A naar B
ð Vele onderliggende waarden: aandelen, wisselkoersen, rentevoeten, grondstoffen, schuldtitels,
elektriciteit, verzekeringsuitkeringen, weer, nieuw: cryptocurrencies, ...
ð Gebruikt voor vele financiële transacties (bv renterisico indekken bij uitlenen van geld)
ð De “real options approach” of de reële optie-benadering is algemeen aanvaard: opties op
bepaalde investeringen, niet op financiële producten.
Hoe worden derivaten verhandeld?
ð Op een beurs (openbare markt, gestandaardiseerd)
o Opmars van trading via algoritmes waar geen mensen meer aan te pas komen
(flitshandel)
ð OTC: over the counter: grootste aandeel van de derivatenmarkt. Je gaat tegenpartij contacteren
om modaliteiten af te spreken van het contract. Voordeel: producten op maat gemaakt van de
behoefte van de investeerders. Nadeel zal vaak het kredietrisico zijn, aangezien je met 1
specifieke tegenpartij zit (wat niet het geval is indien je derivaten koopt/verkoopt op
genormaliseerde beurzen).
o CBOT: Chicago Board Of Trade (1848)
o CME: Chicago Mercantile Exchange (1919)
o Heden: wereldwijde handel
Desondanks de crisis bleef de handel in OTC-contracten domineren!
Faillissement van Lehman Brothers:
Het was investeringsbank met zeer veel tegenpartijen. Zeer veel contracten via OTC-market. Gaat een
tegenpartij failliet? Dan kan je derivaat niet meer uitgevoerd worden of terugbetaald worden. Daarom
werden er zo veel spelers meegetrokken in het faillissement van LB.
Waarom bestaan er derivaten?
1. Risico’s indekken
2. Speculeren, je hebt bepaalde verwachting en hiermee probeer je geld te verdienen.
3. Arbitragewinsten insluiten (mogelijkheid om een risicoloze winst te gaan creëren, in goed
functionerende markt zou dit eigenlijk niet mogelijk mogen zijn).
6
,1.1 Forwards
Een forward is de bindende overeenkomst om een bepaald actief in de toekomst aan te kopen of te
verkopen aan een vooraf bepaalde prijs.
ð Omgekeerde = spot contract: een overeenkomst om actief direct aan te kopen.
ð Verhandeld via OTC-markt
Je kan er 2 positief mee innemen:
ð Long: je gaat akkoord om het actief op een bepaald tijdstip aan te kopen
ð Short: je gaat akkoord om het actief op een bepaald tijdstip te verkopen
De markt voor forward-contracten op wisselkoersen is erg groot!
Terminologie:
Bid: de prijzen die tegenpartijen u gaan aanbieden. Welke prijs kan je krijgen voor je actief?
Offer (ask): De prijzen die tegenpartijen u gaan vragen indien je iets wil kopen.
Spread: winst die brokers proberen te maken op deze transacties. (Bid/ask-spread wordt vaak gebruikt).
Forwards worden dan ook vaak gebruikt om wisselkoersrisico’s te hedgen (in te dekken). Stel dat bedrijf
A binnen 6 maanden een betaling in GBP moet doen. Dan kan het bedrijf de huidige wisselkoers
vastklikken door een forward op 6 maanden aan te kopen (long).
Mogelijke uitkomsten:
7
, (a) Uitkomst bij een long-positie:
Wanneer de prijs van het actief op vervaldag hoger is dan de afgesproken leverprijs ben je dus
“in the money”.
(b) Uitkomst bij een short-positie:
Wanneer de prijs van het actief op vervaldag lager is dan de afgesproken leverprijs maak je dus
winst (in the money).
Bruto = netto-opbrengst aangezien er geen kost verbonden is aan een forward-contract.
1.2 Futures
Idem aan forwards, enige verschil: futures worden op de beurs verhandeld (forwards enkel OTC).
Om handel te bevorderen maakt men gebruik van:
1. gestandaardiseerde contracten
2. ingebouwd mechanisme om voldoende dekking te garanderen
Zie verder in hoofdstuk 2: mechanisme van futures.
Arbitrage-opportuniteiten
= de mogelijkheid om risicoloos winst te maken (weliswaar door marktimperfecties).
Voorbeeld met goud:
Case 1:
- The spot price of gold is US$1,400
- The 1-year forward price of gold is US$1,500
- The 1-year US$ interest rate is 5% per annum
Case 2:
- Idem maar: The 1-year forward price of gold is US$1,400
De forwardprijs in beide voorbeelden is verschillend dan de forwardprijs die zou moeten gelden in een
efficiënte markt. Die forward prijs wordt gegeven door de onderstaande formule. Die correcte prijs zal dus
1470$ zijn. In beide voorbeelden is die prijs echter anders. Hierdoor is er een arbitrage mogelijk.
F = S (1+r )T
F = prijs future / S = spot prijs / r = rente op 1 jaar / T = aantal jaar
Case 1: je short het te dure contract, binnen 1 jaar krijg je het voor 1500€. Je koopt vandaag goud voor
1400€, stel je leent dit. Aan die rente van 5% moet je op het einde van het jaar 1470 terugbetalen. Je
krijgt na een jaar 1500 dus maak je €30 winst zonder enig risico te nemen.
ð Risico: gaat de tegenpartij binnen 1 jaar failliet dan heb je een probleem.
Case 2: de prijs van het forward contract is slechts 1400 terwijl het 1470 zou moeten zijn. Je koopt wat
er te goedkoop geprijst is. Binnen een jaar krijg je goud voor 1400 dollar. Je gaat vandaag goud
shortsellen (iets verkopen wat je niet in je bezit hebt), in de markt verkopen aan 1400$, dit zet je op je
rekening en op het einde van het jaar heb je 1470, daarnaast loopt je contract af, je krijgt goud en je moet
er 1400 voor betalen. Het goud geef je terug aan die persoon waarvan je geleend hebt. Je houdt nu nog
70$ over.
ð Risico: tegenpartij is weg en je kan je contract niet honoreren, je krijgt het goud dus niet en moet
het op de markt kopen. Tweede risico: de ontlener van dat goud zal een bepaalde compensatie
gaan vragen.
8
,1.3 Options
Een optie is een recht (geen bindende overeenkomst) om een actief aan te kopen / te verkopen aan een
vooraf bepaalde prijs op een vooraf bepaald tijdstip.
ð Verhandeld OTC en op beurs
ð Op de beurs? Dan gaat het contract vaak over het aan/verkopen van 100 stuks onderliggende
waarde (vaak aandelen).
ð Hier hangt er wel een kost aan vast (in tegenstelling tot futures of forwards)
2 soorten:
a. Call option: geeft de houder het recht om het onderliggend actief aan te kopen voor een
bepaalde dag aan een bepaald tijdstip.
b. Put option: idem maar dan verkopen.
Terminologie:
ð Strike / exercise price = de prijs afgesproken in het contract
ð Expiration date / maturity = de vervaldag van het contract
Amerikaanse versus Europese opties:
ð Amerikaanse opties kunnen op elk moment voor de vervaldag uitgevoerd worden
ð Europese opties kunnen enkel op de vervaldag zelf uitgevoerd worden.
ð bermuda-optie. Hier kan je op bepaalde tussentijdse momenten de optie gaan uitoefenen.
Voorbeeld call options: GOOGLE
Stel strike is 520 en de prijs voor het
aankopen van de optie zelf is 32 (dus recht
op aankoop voor December 2010). De
investeerder betaalt dus 3200 (32 x 100).
ð Stijgt Google voor de vervaldag niet boven 520$, dan is het contract waardeloos en bedraagt het
verlies $3200.
ð Stijgt Google voor de vervaldag bv tot 600$. Dan kan de investeerder de optie uitoefenen en 100
stuks Google aan 520$ kopen en direct weer verkopen aan 600$. De winst bedraagt dus $8000
min de kost van de optie $3200 = $4800.
Voorbeeld put options: GOOGLE
Je verkoopt een put optie (september
2010) met als strike 480$ dus voor prijs
van 22,20. Dit brengt dus onmiddellijk
2220$ op (100 stuks). Blijft Google boven
de $480 noteren blijft die 2220 je winst.
ð Daalt het echter onder $480, en de optie wordt uitgevoerd aan $420, dan moet je dus eerst
$48.000 aan Google kopen om het dan aan $42.000 te verkopen. Dit resulteert in een
brutoverlies van $6000 of na aftrek van de optieprijs $3780.
Zie tabel voor illustraties van mogelijke uitkomsten op deze transacties.
9
, We onderscheiden dus 4 mogelijke optietransacties:
1. Aankopen van calls
2. Verkopen van calls (of het schrijven van een call optie)
3. Aankopen van puts
4. Verkopen van puts (of het schrijven van een put optie)
1.4 Soorten handelaars
Hedgers: gebruiken derivaten om risico’s in te dekken.
Speculators: gebruiken het om extra te profiteren van de markt (gokken).
Arbitrage: gebruiken meerdere instrumenten om risicoloos winst te genereren.
1.4.1 Hedging
1.4.1.1 Hedging adhv opties
An investor owns 1,000 Microsoft-shares currently worth $28 per share. A two-month put with a strike
price of $27.50 costs $1. The investor decides to hedge by buying 10 contracts.
Niet hedgen: in extreem geval verlies je alles!
Hedgen: je kan het steeds nog verkopen aan 27,50$ als het aandeel crasht. Maar de hedging zal
natuurlijk wel een deel van de opbrengst gaan wegnemen.
10
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller PieterT. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $10.36. You're not tied to anything after your purchase.
