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Folgen und Reihen VL 12
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Zwischenwertsatz und Folgen und Reihen Mitschrift VL 12 Analysis I
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patw
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31.05.22gibt existens an
-> (nicht eindeeigenSieei
Tatz 4.25Itwischenwertsatz)
Er seien ICI ein Interall und f:I - 1
stetig. Dann
existiert
jedem CIR mit infl = c
supf 3tI
=
zu ein
I I
mit
118)
=
c
1
Identitäts-
supt
N
foultion
8181 8
inff
=
-
- s
3
I i
D A
.
G
Intervall:
I
-
sup=max geschlossen in = min
I I
supo max offen info min
M
3
1
hier nicht
stetigheit zentrale
Voraussetzung
>
, Beweis Nach Definition des Supremums und Infimum existieren
zwei reale Zahlen u.VE
f. ( I ) mit u <
< < ✓
Wir wählen a
,
b c- I ( Intervall ) mit f /a) =
u
und f / b) =
✓
b
wobei wir ohne
Einschränkung annehmen a =
.
Da I ein Intervall ist .
ist [a ,
b ] < I .
Wir betrachten M : =
{ ✗ c- [ a. b ] :
flx ) ≤ c
} .
Dann ist Mt ∅ (a c- M ) und beschränkt ,
also
existiert Dabei ist
M
G G [aib ] also
=
c-
sup .
auch GEI .
Ist GEM , so
gilt f / G) ≤ c Raad Def .
von M )
Ist
G HM ist G f stetig
'
so c- M . Da an
,
GGI ist .
gilt flxl →
f /G) (M > ✗ →
G) .
Aus flx ) ≤ c
für alle ✗ c- M
ergibt sich f /G) ≤ <
( mit Bein .
4.13 ) .
Also ist stets f / G) ≤ c
.
Insbesondere b
gilt G
=
und mit
flx ) FIG ) (✗
G )
+
e- → →
auch c ≤
fllf ) ( mit Bem .
4.13 ) .
Also ist FIGI =
c.
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