Samenvatting - Wiskunde 'A1b; 1. Rijen en machten' GO! Onderwijs

Rijen en machten

1. REKENKUNDIGE RIJEN
1.1 Het begrip ‘rij’
Een rij is een aantal reële getallen die in een bepaalde volgorde gegeven zijn. Die
getallen noemen we de termen van een rij. Elke term / elk element heeft een
volgnummer dat we onderaan als index noteren (u 1, u2, u3 …). De algemene term van
een rij is de n-de term un.
1.2 Bepaling van een rij: expliciet en recursief voorschrift
Expliciet voorschrift
Bij sommige rijen kunnen we een formule u n = f(n) vinden waarmee we un kunnen
berekenen voor een willekeurige n. We zeggen dat de rij bepaald is door een expliciet
voorschrift. Met zo’n formule kun je elke term van de rij direct berekenen.
Voorbeeld expliciet voorschrift
7 17 31 49
Op een toelatingsexamen werd gevraagd de rij 1, , , , , … met nog twee termen
4 9 16 25
aan te vullen en de algemene term te bepalen. Je merkt op dat de noemer 1², 2², 3², 4²
en 5² zijn en de tellers zijn telkens één minder dan het dubbele van de noemer.
De algemene term, waarmee je de twee ontbrekende termen mee kunt berekenen is
2n 2−1
dan ook: .
n2
Recursief voorschrift
Bij sommige rijen kunnen we een formule u n + 1 = f(un) vinden waarmee we een term
kunnen berekenen uit een of meer voorgaande termen. We spreken dan van een
recursief voorschrift. Daarbij hebben we dus de vorige term(en) nodig om de
daaropvolgende term te kunnen berekenen.
Voorbeeld recursief voorschrift
De rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … kan dor middel van een recursief voorschrift
gegeven worden: u1 = 1 en u2 = 1 en un+2 = un + un+1. Hier zijn dus twee termen
gegeven: u1 en u2.
Door toepassing van die formule vinden we dat u3 = u1 + u2 = 2.
Ontbinden in priemfactoren
Als we gaan ontbinden in factoren kan dat ook met de priemgetallen: 2, 3, 5, 7, 11, 13,
17, 19, 23, 29 …




1

, 1.4 Rekenkundige rijen
Rekenkundige rij - in woorden
Een rekenkundige rij is een rij waarbij elke term gelijk is aan de som van de voorgaande
term met een constant getal v. Dat constante getal v (∈ R ) noemen we het verschil van
de rekenkundige rij.
Rekenkundige rij - in symbolen
(un) is een rekenkundige rij met verschil v ⟺ ∀ n ∈ N 0 :un+1 =un +v
Bewijs algemene term van een rekenkundige rij
Is (un) een rekenkundige rij met verschil v, dan hebben we:
u2 = u 1 + v
u3 = u2 + v = u1 + v + v = u1 + 2v
u4 = u3 + v = u1 + v + v + v = u1 + 3v
… …
un = un-1 + v = u1 + (n - 1)v
Algemene term rekenkundige rij
un = u1 + (n - 1)v
1.5 Enkele eigenschappen van rekenkundige rijen
Eigenschap 1
a, b en c zijn drie opeenvolgende termen van een rekenkundige rij als en slechts als b =
a+c
.
2
We noemen b het rekenkundig gemiddelde van a en c.
Bewijs eigenschap 1
a, b en c zijn drie opeenvolgende termen van een rekenkundige rij
 b = a + v en c = b + v
 b–a =c–b
 2b = a + c
a+c
 b =
2
Besluit uit het bewijs van eigenschap 1
In een rekenkundige rij is elke term gelijk aan het rekenkundig gemiddelde van de twee
termen die hem insluiten. Vandaar de benaming rekenkundige rij.
Eigenschap 2
In een rekenkundige rij met n termen is de som van de termen die even ver van de
uiterste termen u1 en un verwijderd zijn, constant en gelijk aan de som van de uitersten.
Bewijs eigenschap 2
Voor een willekeurige rekenkundige rij tonen we aan dat:
u1 + un = u2 + un-1 = u3 + un-2 = …
Bekijk het volgende schema:
Hieruit volgt:
u2 + un-1 = (u1 + v) + (un – v) = u1 + un
u3 + un-2 = (u1 + 2v) + (un – 2v) = u1 + un
1.6 Grafische voorstelling van een rekenkundige rij
Alle punten van de grafiek liggen op een rechte. (punten niet verbinden, geen rechte
tekenen!)
We spreken van een lineair verband tussen de tijd en het gespaarde bedrag.


2