Samenvatting - Wiskunde '2. Hoofdstelling van de algebra' GO! Onderwijs
5 views 0 purchase
Course
Wiskunde
Institution
3e Graad
Dit document is een samenvatting van 'Complexe getallen; 2. Hoofdstelling van de algebra', uit het boek 'VBTL 5 - gevorderde wiskunde' voor het vak Wiskunde in het GO! Onderwijs in de doorstroomfinaliteit/ASO.
1. VEELTERMEN MET COMPLEXE COËFFICIENTEN IN ℂ[z]
1.1 Veelterm met complexe coëfficiënten
Een veelterm met complexe coëfficiënten in één veranderlijke z kunnen we noteren als:
n
∑ ai z i = a z
n
n
+ an-1zn-1 + an-2zn-2 + … + a2z2 + a1z + a0 waarbij a0, a1, a2, …, an-2, an-1, an
i=0
∈C en n ∈ N .
1.2 Graad van een veelterm
De graad van een veelterm in z is de hoogst voorkomende exponent van z in die
veelterm.
1.3 Getalwaarde van een veelterm
De getalwaarde van een veelterm A(z) voor een gegeven complex getal w = a + bi is
het complex getal dat we bekomen door in de veelterm de veranderlijke z te vervangen
door w. Dit kan d.m.v. Horner!
Notatie: A(w)
2. DEELBAARHEID DOOR z - c
1.1 Deelbaarheid door z - c
A(z) is deelbaar door d(z) als en slechts als de rest van de euclidische deling van A(z)
door D(z) nul is.
D(z) | A(z) ⇔ ∃ Q ( z ) ∈C [ z ] : A ( z )=D ( z ) · Q ( z )
⇔ R(z) = 0
Reststelling
Bij de euclidische deling van een veelterm door z - c (met c ∈C ) is de rest van de deling
gelijk aan de getalwaarde van het deeltal voor z = c.
Kenmerk van deelbaarheid door z - c
De veelterm A(z) is deelbaar door z - c als en slechts als de getalwaarde voor z = c
gelijk is aan 0.
(z - c) | A(z) ⇔ A(c) = 0
Als c1 en c2 twee verschillende complexe getallen zijn, dan geldt: (z - c 1) · (z - c2) | A(z)
en z - c2 | A(z).
3. STELLING VAN D’ALEMBERT
3.1 Hoofd- / Fundamentele stelling van de algebra oftewel stelling van
d’Alembert
Elke veelterm met complexe coëfficiënten en met graad groter dan of gelijk aan één,
heeft ten minste één nulwaarde. A(z) ∈C [ z ] en gr(A(z)) ≥ 1 ⇒ ∃ c ∈C : A(c) = 0
1
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller thibauttaminiau. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $5.43. You're not tied to anything after your purchase.
