➢ Bovengrens b als voor alle x in U geldt dat x ≤ b, met kleinste bovengrens β ≤ b = supremum = sup A
➢ Ondergrens b als voor alle x in U geldt dat x ≥ a, met grootste ondergrens α ≥ a = infimum = inf A
Verzameling van de reële getallen
Intervallen
▪ Randpunt = als je een cirkel er rondtrekt krijg je altijd een punt binnen en buiten het interval
▪ Inwendig punt = als je een cirkel er rondtrekt krijg je altijd punten binnen het interval
▪ Ophopingspunt = een punt dat niet tot het interval behoort maar er wel in ligt, deze maakt limiet mog
▪ Geïsoleerd punt = punt dat tot het interval behoort maar als los punt ligt
▪ Open, gesloten, begrensd interval
In dit voorbeeld is b geen deel van de deelverzameling, dus ook geen inwendig punt
,HOODSSTUK 2: Verzamelingen en getallen - Analyse: functies van één variabele
Rekenen met reële getallen
Optelling en vermenigvuldiging
▪ Algebraïsch gesloten (inwendigheid)
▪ Commutatief
▪ Associatief
▪ Neutraal element
▪ Invers element
▪ Distributief *aftrekking en deling niet commutatief en associatief
Krijgt veld als aan de axioma’s voldaan zijn, geordend veld indien elementen geordend zijn
Handige identiteiten (om product en som te vereenvoudigen)
Herschrijf de vorm tussen haakjes
Probeer zaken voorop te schrijven
Schrijf de som / het product uit en zoek een patroon
Complexe getallen
Complex getal c: a + bi met √−𝑐 = i√𝑐
Complex toegevoegde : a – bi → imaginair deel in noemer wegwerken → Z . Z = a² + b²
Imaginaire eenheid : i = √−1 met i² = -1
, HOOFDSTUK 3: Functies - Analyse: functies van één variabele
HOOFDSTUK 3: Functies
Het cartesisch coördinatenstelsel
x-as en y-as ➔ punt P beschrijven adhv coördinaten in een geordend koppel P(x,y)
Oorsprong en 4 kwadranten
Functies
x = het argument met overeenkomstig beeld y
Hebt input x, steekt het in een functie en krijgt output y, f beeld het domein X af op codomein Y
▪ X = domein (alle mogelijke inputs)
▪ Y = codomein (alle mogelijke outputs)
▪ im f = bereik (beeld) (verzameling waar f het domein uiteindelijk naar stuurt)
Verticale rechte test → mag hoogstens één snijpunt hebben met de functie, dan is y een functie van x
Expliciete functie: y = f(x)
Impliciete functie: bv y² = x² + 4
▪ Injectief
Op elk element van het codomein wordt er hoogstens één element van het domein afgebeeld (kan 0 zijn)
▪ Surjectief
Op elk element van het codomein wordt er minstens één element van het domein afgebeeld (kan 2 zijn)
Als beeld f = codomein f
▪ Bijectief
Op elk element van het codomein wordt er exact één element van het domein afgebeeld
Even functie f(-x) = f(x) => spiegelbeeld rond y-as
Oneven functie f(-x) = -f(x) => spiegelbeeld rond oorsprong
▪ Kwadratische functie
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = algemene vorm,
. standaardvorm: y = a(x +c)² + b
Parabool met top (-b/2a, y) . met top T(ac, b)
a bepaald of het een dal (+) of berg (-) is
Nulpunt berekenen a.d.h.v. de discriminant
−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
𝑥= 2𝑎
D > 0 : twee reële wortels
D = 0 : één reële wortel met multipliciteit 2
D < 0 : twee complexe wortels
Met graad n en hoogste graadsterm 𝑎𝑛 𝑥 𝑛
𝑎0 is de constante term
x³ + 6x - 1
Nulpunt berekenen adhv
Nulpunt zoeken door te kijken naar de delers van de rest term
Factorstelling: reëel getal c is een nulpunt van p(x) x-c een factor is van p
Horner
Euclidische deling : p(x) = d(x) q(x) + r(x)
Maximaal n-aantal verschillende nulpunten, kan ook meerdere keren zelfde nulpunt :
multipliciteit
Rationale functies
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥) =
ℎ(𝑥)
Deling van twee aparte functies, elk met eigen nulpunten
2𝑥 − 1
𝑥+1
, Nulpunt van noemer: asymptoot of opening als evenveel of meer keer ook voorkomt in teller
Hebt horizontale en verticale asymptoten cfr. Hfst 8: limieten
Hebt domeinbeperking door de noemer
Irrationale functies
Functies met een vierkantswortel => zorgt voor domeinbeperkingen
Opletten met bestaansvoorwaarde
√𝑥
Kegelsnede: zie uitgebreide samenvatting op de volgende pagina’s
Formule om elke kegelsnede te definiëren:
ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0
▪ Als b² - 4ac > 0, dan heb je een hyperbool
▪ Als b² - 4ac = 0, dan heb je een parabool
▪ Als b² - 4ac < 0, dan heb je een ellips of cirkel
a, b of c zijn vaak 0 in oefeningen
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller BioIngenieur. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $3.57. You're not tied to anything after your purchase.
