Summary
Samenvatting Statistiek 1 (5000FSWST1) deel 2 kansen
- Course
- Institution
- Book
samenvatting op basis van de lessen, powerpoints, werkcolleges en het boek statistisch gezien vanaf hoofdstuk 8.
[Show more]
Connected book
Book Title:
Author(s):
- Edition:
- ISBN:
- Edition:
Seller
Follow
seppelienvos
Content preview
Statistiek 1 – Deel 2Hoofdstuk 8: basisbegrippen kansrekening & axiomatische kansrekening
Nut van kansrekening:
- Beheersing van onzekerheid
o Risico’s kwantificeren d.m.v. kansen
Focus op stochastisch proces
Stochastisch proces:
- Uitkomst is onzeker, hangt af van het toeval
o Bv. opgooien van een eerlijke dobbelsteen en aantal ogen noteren
o Bv. politieke voorkeur vragen aan voorbijganger
Deterministisch proces:
- Uitkomst is zeker, hangt niet af van het toeval.
o Bv: vaas gevuld met rode knikkers, geblinddoekt knikker kiezen en kleuren noteren
o Bv: politieke voorkeur vragen aan N-VA lid.
Bv: opgooien van een eerlijke dobbelsteen en aantal ogen noteren: stochastisch proces
- Uitkomstenruimte S = de verzameling van alle mogelijke uitkomsten
o Bv: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (‘scample space’)
Toevalsgebeuren
Toevalsgebeuren/gebeurtenis = een (deel) verzameling van mogelijke uitkomsten
Bv: B = {2, 4, 6 } = {even aantal ogen gooien};
A = {1} ;
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {minder dan 7 gooien};
∅ = lege verzameling ‘fi’
= (negatief aantal ogen gooien)
Terminologie: een toevalsgebeuren A “doet zich voor” als de uitkomst van een stochastisch proces
een element is van A.
Elementair toevalsgebeuren = gebeurtenis die slecht 1 element bevat
- Bv: A = {1} is een elementaire gebeurtenis
Samengesteld toevalsgebeuren = gebeurtenis die meerdere elementen bevat
Bv: B = {2, 4, 6} = (even aantal ogen gooien)
Machtsverzameling
Machtsverzameling M(S) = bevat alle mogelijke gebeurtenissen uit S
- Bv: opgooien 1 eerlijke dobbelsteen:
- M(S) = { ∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1,2}, {1,3}, ..., {1,2,3}, {1,2,4}, … , {1,2,3,4,5,6}}
#M(S) = aantal elementen van M(S)
- Als S bestaat uit n uitkomsten, dan bestaat de machtsverzameling uit 2n elementen
Notatie: als #S = n → #M(S) = 2n
▪ Bv: opgooien 1 eerlijke dobbelsteen: #S = 6 → #M(S) = 26 = 64
1
,Unie
Bv: geïnteresseerd in even aantal ogen of aantal ogen kleiner dan 3 → A = {2, 4, 6} en B = {1, 2}
A of B doet zich voor als de uitkomst ofwel tot A ofwel tot B behoort.
Notatie: A ∪ B (‘A unie B’)
→ A ∪ B = {1, 2, 4, 6}
Doorsnede
Bv: geïnteresseerd in even aantal ogen en hoogstens 4 ogen → A = {2, 4, 6} en B = {1, 2, 3, 4}
A en B doen zich samen voor als de uitkomst zowel tot A als tot B behoort
Notatie: A ∩ B (‘A doorsnede B’)
→ A ∩ B = {2, 4}
Bv: C = {1} en A = {2, 4, 6}
→ C ∩ A = ∅ (lege verzameling)
(C en A zijn ‘disjunt = geen gelijkenissen’)
Complement
Bv: niet geïnteresseerd in even aantal ogen → A = {2, 4, 6} mag zich niet voordoen
Het complement van A bestaat uit alle uitkomsten die niet in A zitten
Notatie: Ac = S ∖ A
(‘A complement’ = ’S min A’)
→ Ac = {1,3, 5}
Bv: B = {2, 3, 5, 6}
→ Bc = {1, 4} (want S = {1, 2, 3, 4, 5, 6})
Disjunct
A en B zijn disjunct/mutueel exclusief als hun doorsnede leeg is (niets gemeenschappelijks)
Bv: A = {1} en B = {2, 4, 6} zijn disjunct
Want A ∩ B = ∅ ( ø = ‘fi’ = lege verzameling)
Exhaustief
G1, G2, G3 zijn exhaustief als hun unie gelijk is aan de uitkomstruimte S
Bv: G1 = {1}, G2 = {2, 4, 6} en G3 = {2, 3, 5} zijn exhaustief, want G1 ∪ G2 ∪ G3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = S
2
,Disjunct EN exhaustief
G1, G2, G3 zijn disjunct en exhaustief als ze elkaar niet overlappen en hun unie gelijk is aan de
uitkomstruimte S
Bv: G1 = {2}, G2 = {1, 3, 4} en G3 = {5, 6}
→ G1, G2 en G3 vormen samen een partitie van S
Partitie / volledig stelsel
De gebeurtenissen G1, G2, …, Gk vormen een partitie / een volledig stelsel als ze
1. Exhaustief zijn
2. Twee aan twee desjunct zijn
Bv:G1 = {1}, G2 = {2, 4, 6} en G3 = {3, 5} vormen een partitie
Speciaal geval:
Bv: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} en {6} vormen een partitie de elementaire gebeurtenissen horende bij
een kansexperiment vormen steeds een partitie (want ze zijn mutueel exclusief en
exhaustief)
Kans
Kans = probability, probabilité → ‘P’
→ de kans P(G) drukt uit hoe waarschijnlijk of onwaarschijnlijk de gebeurtenis G is
Bv: P ({2 gooien met eerlijke dobbelsteen}) = 1/6
- P (G) = een reëel getal tussen 0 en 1
- Met elke gebeurtenis G kan een kans P(G) geassociaard worden
P
G P (G)
- P is een ‘machine’ die met elke input G een output P(G) associeert
P = functie die met elke G een reël getal P(G) tussen 0 en 1 associeert
G → functie P → P(G)
(element uit M(S)) (getal tussen 0 en 1)
{2} → funtie P → P({2}) = 1/6
Kansdefenitie
1) Subjectieve kansdefinitie (Gokkans)
- Bv: ‘kans om lotto te winnen is erg klein’
- Vaak gebaseerd op ervaring, vaag
2) Empirische kansdefinitie (Zweetkans)
- Bv: kans om 2 te gooien bij eelijke (?) dobbelsteen
- Dobbelsteen heel vaak opwerken (n→ oneindig)
𝑓
- Geregeld 𝑛𝑖 berekenen (= benadering voor kans)
𝑓
- Kijken waar de waarden 𝑛𝑖 naartoe gaan als n toeneemt → de ‘limietwaarde’ is de gezochte
kans.
𝑓
- Formule: 𝑃(𝐴) = lim 𝑛𝑖
𝑛→∞
3
, 3) Theoretische kansdefinitie van Laplace (weetkans)
- Bv: kans om 2 te gooien bij eerlijke (!) dobbelsteen
- # gunstige uitkomsten = 1
- # mogelijke uitkomsten = 6
- P({2}) = 1/6
#𝐴 # 𝑔𝑢𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒
𝑃(𝐴) = =
# 𝑆 # 𝑚𝑜𝑔𝑒𝑙𝑖𝑗𝑘𝑒
Opmerking : Laplace veronderstelt dat elke uitkomst even plausibel is
→ enkel toepassen bij eerlijke dobbelsteen
4) Axiomatische kansdefinitie:
De reële functie P moet voldoen aan 3 axioma’s
o 0 ≤ P(A) ≤ 1
o P(S) = 1
o Als A en B desjunct gebeurtenissen zijn (A ∩ B = ø), geldt dat P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
bv: A = {2}; B = {1, 4} → A en B disjunct
P(A) = 1/6 ; P(B) = 2/6;
P (A ∪ B) = P({1, 2, 4}) = 3/6 = 1/6 + 2/6
→ Abstracte definitie; kansregels gebruiken
1e kansregel:
Complementregel: P(Ac) = 1 – P(A)
2e kansregel
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
3e kansregel
Productregel:
P(A ∩ B) = P(𝐴|𝐵) . P(B)
P(A ∩ B) = P(𝐵|𝐴) . P(A)
→ voorwaardelijke kans nodig
→ ‘A priori’ vs ‘A posteriori’
P(𝐴|𝐵) = ‘A posteriori’ kans P(𝐴|𝐵) . P(B) → P(B) = ‘A priori’ kans
→ P(𝐴|𝐵) = ‘de kans op A gegeven B’
𝑃 (𝐴 ∩𝐵)
→ P(𝐴|𝐵) = 𝑝(𝐵)
𝑃(𝐵∩𝐴) 𝑃(𝐴∩𝐵)
Of P(𝐵|𝐴) = =
𝑃(𝐴) 𝑃(𝐴)
(On)afhankelijkheid van gebeurtenissen
Bv: Man zijn en bril dragen:
- Heeft een man een hogere/lagere kans op het dragen van een bril (dan een vrouw)?
- Neen, want P(𝑏𝑟𝑖𝑙|𝑚𝑎𝑛), zal niet systematisch hoger/lager zijn dan P(bril)
- ‘man zijn’ en ‘bril dragen’ zijn onafhankelijke gebeurtenissen
4
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller seppelienvos. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $8.65. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
67096 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now