Samenvatting Lineaire Algebra en Vector Analyse (GEO2-1201), tussentoets
4 views 0 purchase
Course
Lineaire algebra en vector analyse (GEO21201)
Institution
Universiteit Utrecht (UU)
Book
Mathematical Methods in the Physical Sciences
Samenvatting voor de cursus Lineaire Algebra en Vector Analyse (GEO2-1201). Behandelt alle informatie voor de tussentoets en geeft hierbinnen verschillende uitgewerkte voorbeelden. Bespreken van de volgende onderwerpen: rijreductie, determinanten, vectoren, matrixberekeningen, matrixtransformaties ...
Mathematical Methods in the Physical Sciences, Boas - Downloadable Solutions Manual (Revised)
Mathematical Methods in the Physical Sciences, Boas - Solutions, summaries, and outlines. 2022 updated
All for this textbook (2)
Written for
Universiteit Utrecht (UU)
Aardwetenschappen
Lineaire algebra en vector analyse (GEO21201)
All documents for this subject (2)
Seller
Follow
liskimy
Content preview
HOOFDSTUK 1 – RIJREDUCTIE
Lineaire vergelijkingen
Een lineaire vergelijking is een vergelijking die alleen afhankelijk is van
onbekenden; er is geen spraken van bijvoorbeeld een kwadraat of logaritme.
Wanneer lineaire vergelijkingen met elkaar worden vergeleken kunnen er drie
situaties ontstaan:
Vergelijkingen snijden elkaar; vergelijkingen zijn consistent en er is een
unieke oplossing
Vergelijkingen zijn parallel: vergelijkingen zijn inconsistent en er zijn geen
oplossingen
Vergelijkingen zijn identiek: vergelijkingen zijn onbepaald en er zijn
oneindig oplossingen
Gaussische eliminatie
Het oplossen van een stelsel lineaire vergelijkingen gaat via rijreductie in een
vanuit vergelijkingen-opgesteld matrix. Deze matrix kent verschillende
onderdelen: het coëfficiënten matrix, matrix met onbekenden, en het
aangevulde matrix (aug. matrix), matrix met onbekenden en antwoorden.
Het oplossen van de matrix kent de volgende aanpak:
1) Schrijf de vergelijkingen in de aangevulde matrixnotatie met haken en
een stippellijn
2) Pas rijreductie toe zodat de matrix veranderd in (1) echelon vorm met
coëfficiënt 1 op elk van de traptreden of in (2) gereduceerde echelon vorm
met coëfficiënt 1 op elk van de traptreden en coëfficiënt 0 op de rest
3) Pas terugsubstitutie toe voor het bepalen van de waarde van x, y en z
| |
1 … … a
0 1 … b Echelon vorm
0 0 1 c
| |
1 0 0 d
0 1 0 e Gereduceerde echelon vorm
0 0 1 f
Binnen de rijreductie (stap 2) kunnen verschillende opties worden toegepast:
, Rijen verwisselen met elkaar; vooral handig waar de waarde van x, y of z al 1
is
Rijen vermenigvuldigen met een constante
Veelvoud van een rij bij een andere optellen
Het veranderen naar de echelon vorm gaat het beste door de opties van
rijreductie op de volgende manier toe te passen:
1) Verwissel of combineer rijen om een pivot van 1 op de eerste rij en eerste
kolom te krijgen
2) Ga met rijen vegen; gebruik de rijen om alle coëfficiënten verticaal onder de
net gemaakte 1 naar 0 te krijgen
3) Verwissel of combineer rijen om een pivot van 1 op de tweede rij en tweede
kolom te krijgen; alle coëfficiënten verticaal eronder naar 0 brengen
4) Herhaal dit verder tot de onderste rij
( )
1 −2 1 0
Dit geeft: matrix A = 0 2 −8 8
−4 5 9 −9
( )
1 −2 1 0
R3’ = R3 + 4*R1 0 2 −8 8
0 −3 13 −9
( )
1 −2 1 0
R2’ = R 0 1 −4 4
0 −3 13 −9
( )
1 −2 1 0
R3’ = R3 + 3*R2 0 1 −4 4
0 0 1 3
Dit geeft: z = 3 (R3) y – 4z = 4 (R2) x – 2y + z = 0 (R1)
Dus: z=3 y = 16 x = 29
Soorten vergelijkingen
Door rijreductie toe te passen op de matrix, kan deze versimpeld wordt. Door in
de versimpelde versie te kijken naar de aantal rangen, kan bepaald worden met
welke soort vergelijkingen we te maken hebben.
Een rang is een rij die NIET geheel bestaat uit nullen NA rijreductie
Wanneer Matrix is op te lossen; Oplossingen zijn uniek
aparte x, y en z uitkomst
Wanneer Rangen coef. matrix < Geen oplossingen,
inconsistente
rangen aug. matrix vergelijkingen
, (0 0 0 a)
Wanneer Rangen coef. matrix = Oneindig veel oplossingen,
rangen aug. matrix onafhankelijke vergelijkingen
(0 0 0 0)
VB2 gereduceerde matrix A = (10 1 1
0 1 )
Geeft rang coef. matrix = 1 rang aug. matrix = 2
Dus Vergelijkingen zijn inconsistent, 0 + 0 = 1, kan immers
niet
Vergelijkingen zijn onafhankelijk, uit de tweede rij is geen
informatie te halen en deze valt weg. Uit de andere twee rijen
kunnen geen
Aparte antwoorden worden gehaald
, VOORBEELDEN HOOFDSTUK 1
Voorbeelden onafhankelijke vergelijkingen
Bij onafhankelijke vergelijkingen kan niet gewerkt worden naar aparte antwoorden
voor x, y en z, maar zijn de rangen van de gereduceerde coef. matrix en aug.
matrix aan elkaar gelijk. Antwoord wordt gegeven met de informatie die WEL
beschikbaar is; aparte antwoorden en nieuwe vergelijkingen
VB4 2x + y – z = 2 en 4x + y – 2z = 3 geeft de volgende matrix
( 24 1 −1 2
1 −2 3 ) R ( 14 0.5 −0.5 1
1 −2 3 )
R2’ = R2 – 4*R1 (10 0.5 −0.5 1
−1 0 −1 )
R2 * -1 (10 0.5 −0.5 1
1 0 1 )
Verder kan niet gegaan worden, dus het is een onafhankelijke vergelijking
Dus y=1 en x + 0.5*y – 0.5*z = 1 (x = 0.5 + 0.5*z)
VB5 -x + y – z = 4 en x – y + 2z = 3 en 2x – 2y + 4z = 6
Rij 1 en 3 kunnen niet verder worden versimpeld en Rij 2 geeft geen extra
informatie
Dus z=7 en x – y + 2z = 3 (x = y – 11)
Voorbeelden inconsistente vergelijking
Bij inconsistente vergelijkingen kan niet gewerkt worden naar aparte antwoorden
voor x, y en z, maar zijn de rangen van de gereduceerde coef. matrix kleiner dan
die van de aug. matrix. Doordat een vorm ontstaan is van 0 + 0 + 0 = a, is de
vergelijking inconsistent verklaard.
VB6 x - y + 2z = 5 en 2x + 3y - z = 4 en 2x – 2y + 4z = 6
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller liskimy. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $7.05. You're not tied to anything after your purchase.
