Dit is een samenvatting van het hoorcollege over hoofdstuk 2 van de theoretische biologie in de cursus systeembiologie. Onderwerpen die hier naar voren komen, zijn: dichtheidsafhankelijk, logistische groei, geboortecijfer, evenwicht, toepassing wiskundig model etc.
Theoretische biologie hoofdstuk 2
Uitleg theoretische biologie hoofdstuk 1 opdracht 1.4
Over het algemeen moet je alleen wiskundige modellen begrijpen en hoef je ze niet zelf op te stellen,
behalve bij reactievergelijkingen:
X Y Z
Als 2 waterstofmoleculen 1 zuurstofmolecuul treffen, kan met reactiesnelheid k1 water gevormd
worden. Het is ook mogelijk dat 2 watermoleculen vervallen in 2 waterstofmoleculen en 1
𝑑𝑧
zuurstofmolecuul, dat gebeurt met snelheid k2. Als je hier een differentiaalvergelijking 𝑑𝑡 van maakt,
vertelt dat jou iets over de verandering van de hoeveelheid en dus niet over de hoeveelheid zelf.
Voor de reactie naar rechts komen 2 watermoleculen vrij met snelheid k1 en deze snelheid is
afhankelijk van 2 waterstofmoleculen en 1 zuurstofmolecuul. De kwadraten geven dus aan hoeveel
van het betreffende molecuul nodig zijn voor het product en de 2 die voor 𝑘1 𝑥 2 𝑦 staat geeft aan dat
je hierbij 2 𝐻2 verliest. Tegelijkertijd kan je water verliezen en hierbij raak je 2 watermoleculen kwijt
dus staat er een kwadraat bij de z en omdat je hierbij 2 watermoleculen kwijtraakt, staat er
ook nog een twee vòòr 𝑘2 𝑧 2. Deze 2 staat dus zowel in het kwadraat als voor de formule. Dit
wordt 1 keer gedaan om de boekhouding goed te houden en 1 keer om de concentraties goed
te houden.
𝑘1
Als we bovenstaande kennis toepassen op reactieschema 𝐴 + 𝑆 → 2𝐴 zien we dat de hoeveelheid A
rechts van de pijl met 1 toeneemt. Als A dus S tegenkomt met snelheid 𝑘1 ontstaan er 2A. Dit levert
𝑑𝐴
dus een differentiaalvergelijking op van 𝑑𝑡 = 𝑘1 𝐴𝑆. De opdracht is namelijk dat je
differentiaalvergelijkingen opstelt voor A en B en hier komt alleen A voor in het schema.
𝑘2
Vervolgens kijken we naar 𝐴 + 𝐵 → 2𝐵 waarbij A en B elkaar met snelheid 𝑘2 tegenkomen en 2B
vormen. Hierbij verdwijnt dus een A waardoor er een ‘-‘ in de vergelijking van A komt te staan en we
𝑑𝐴
de vergelijking aanvullen tot 𝑑𝑡 = 𝑘1 𝐴𝑆 − 𝑘2 𝐴𝐵. We kunnen nu ook een begin maken aan de B
𝑑𝐵
vergelijking: 𝑑𝑡
= 𝑘2 𝐴𝐵 omdat er 1 B bijkomt als A en B met elkaar reageren.
𝑘3
Vervolgens zien we nog dat A en B kunnen vervallen zo heb je de vergelijking 2𝐴 + 𝐸1 → 𝐹 + 𝐸1 .
Hierbij vervallen 2 A’s door een enzym in tot F. Er gaan 2 A’s weg die elkaar dus tegen moeten komen
waardoor je −2𝐴2 en dit vermenigvuldig je dan met 𝐸1 en de reactieconstante 𝐾3 , waardoor de
𝑑𝐴
differentiaalvergelijking van A aanvult tot 𝑑𝑡 = 𝑘1 𝐴𝑆 − 𝑘2 𝐴𝐵 − 2𝐴2 𝐸1 𝑘3. Bij dit derde deel raak je in
, totaal 2 A moleculen kwijt en vandaar dat je er dus ook 2 vanaf moet trekken. Bij het eerste deel krijg
je er netto 1 A bij en vandaar dat daar dus maar 1 A aangegeven staat, terwijl je er meerdere in de
vergelijking ziet. Met de 2 die je ervoor zet, zeg je dus dat er 2 A’s verloren gaan en met het kwadraat
geef je de snelheid 𝐴2 aan.
𝑘4
Ook is er nog een vervalreactie voor B: 𝐵 + 𝐸2 → 𝐺 + 𝐸2 en dat levert dus een uiteindelijke B
𝑑𝐵
vergelijking op van 𝑑𝑡 = 𝑘2 𝐴𝐵 − 𝑘4 𝐵𝐸2 .
𝑘3
Stel je zou een vervalreactie van 2𝐴 + 𝐸1 → 𝐴 + 𝐸1 hebben, dan zou dat −𝐴2 𝐸1 𝑘3 opleveren in de
differentiaalvergelijking van A, omdat de twee A’s elkaar nog steeds tegen moeten komen, maar er in
totaal maar 1 A verloren gaat. Je zegt hier dus dat 2 A moleculen 1 𝐸1 tegen moeten komen met
snelheid 𝑘3 om die ene A te verliezen.
Theoretische biologie hoofdstuk 2 populatiegroei
Oostvaardersplassen, in de grafiek over een bepaalde diersoort uit de
Oostvaardersplassen zie je dat het geboortecijfer afneemt als de
populatiegrootte toeneemt en dat het sterftecijfer juist toeneemt met de
populatie. Hieruit kan je concluderen dat b en d afhankelijk zijn van N. Als je
𝑑𝑁
uitgaat van de differentiaalvergelijking = (𝑏 − 𝑑)𝑁 = 𝑟𝑁 met oplossing
𝑑𝑡
𝑁(𝑡) = 𝑁(0)𝑒 𝑟𝑡 .
Dichtheidsafhankelijk, over het algemeen hangen
zowel het geboorte als sterftecijfer van de
dichtheid van de populatie af, zoals in grafiek a te
zien is, maar soms is een van beide onafhankelijk
van de populatiedichtheid, zoals in b en c te zien is.
𝑑𝑁
Density dependent death rate, we hebben de standaardvergelijking = (𝑏 − 𝑑)𝑁 en we
𝑑𝑡
weten dat het sterftecijfer toeneemt als de populatie groter wordt. We hebben in de grafieken
hierboven gezien dat de sterfte en de populatie samenhangt, zoals in de grafiek die hiernaast is
weergegeven ook te zien is. Je wil dit echter wiskundig benaderen i.p.v. alleen biologisch dus
stel je een formule op voor de sterfte: 𝑓(𝑁) = 𝑐𝑁 + 𝑚. Als je dit wil gaan gebruiken voor het
model is m gelijk aan het sterftecijfer als er heel weinig individuen zijn (vandaar de ‘d’ in de
grafiek). Dat is dus het sterftecijfer als er geen concurrentie is en daaruit volgt een functie van
𝑓(𝑁) = 𝑐𝑁 + 𝑑. Hierbij is de dimensie van d ‘(sterftes) per jaar’ en 𝑐𝑁 moet die dimensie dus ook
hebben, want anders mag je ze niet bij elkaar optellen. 𝑁 heeft al een dimensie van ‘aantal
individuen’ en 𝑐 moet dus een dimensie hebben van ‘per jaar per aantal individuen’ om het ‘aantal
individuen’ van 𝑁 weg te werken en de dimensie ‘per jaar’ van d toe te voegen. Deze functie wil je
uiteindelijk in je model verwerken, maar het is biologisch nogal lastig om te verklaren wat 𝑐 is. Dit is
namelijk de helling van de grafiek maar vanuit biologisch oogpunt zegt dat niks en met de dimensie
‘per jaar per aantal individuen’ kan je ook vrij weinig. Vandaar dat we 𝑓(𝑁) = 𝑐𝑁 + 𝑑 om gaan
𝑐 𝑁 𝑑
schrijven tot 𝑓(𝑁) = 𝑑 (1 + 𝑑 𝑁) = 𝑑(1 + 𝑘 ) waarbij geldt 𝑘 = 𝑐 . Dit lijkt heel onlogisch, maar dit
wordt gedaan, omdat d al in de differentiaalvergelijking staat en je hierdoor een nieuwe functie
𝑁
creëert: 𝑔(𝑁) = (1 + 𝑘 ). Je kan je differentiaalvergelijking nu dus opschrijven als:
𝑑𝑁 𝑁
= (𝑏 − 𝑑𝑔(𝑁))𝑁 met 𝑔(𝑁) = (1 + )
𝑑𝑡 𝑘
Hierbij is functie 𝑔(𝑁) dimensieloos, waardoor 𝑘 dus het aantal individuen moet hebben qua
dimensie. Nu is parameter 𝑘 een stuk makkelijker uit te leggen dan parameter 𝑐. Parameter 𝑘 geeft
namelijk de populatiedichtheid waarbij de sterftesnelheid verdubbelt, als 𝑘 = 𝑁 namelijk in de
𝑁
vergelijking wordt ingevuld levert dat 𝑑 (1 + ) = 𝑑 ∗ 2. De 𝑘 geeft dus niet de carrying capacity
𝑁
(draag capaciteit) die met hoofdletter 𝐾 aangegeven wordt. Dit zou je ook uit de allereerste grafiek
over de Oostvaardersplassen kunnen halen door bijvoorbeeld met een liniaal te kijken, de lijn door te
trekken en dan af te lezen wanneer de 𝑑 gelijk is aan 0,6 (2 ∗ 0,3 = 0,6).
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller brittheijmans. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $3.44. You're not tied to anything after your purchase.
