Summary
Samenvatting Fysica II: Hoofdstuk 22: De Wet van Gauss
- Course
- Institution
- Book
Fysica II: Hoofdstuk 22: De Wet van Gauss C0000673A - Universiteit Gent 1ste jaar Biochemie en Biotechnologie, 2de semester
[Show more]
Connected book
Book Title:
Author(s):
- Edition:
- ISBN:
- Edition:
1 review
By: ethelhaentjens • 6 year ago
Seller
Follow
vastgoedstudent123
Reviews received
Content preview
Hoofdstuk 22: De Wet van GaussElektrische flux 𝚽𝑬 door een plat oppervlak 𝐴 voor een homogeen elektrisch veld
𝐸⃗ is gedefinieerd als Φ𝐸 = 𝐸⃗ ∙ 𝐴 = 𝐸𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 en is proportioneel met het aantal
veldlijnen door het oppervlak 𝐴.
Als het veld niet homogeen is, kan de flux worden
bepaald met behulp van de integraal Φ𝐸 = ∫ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝐴.
De richting v/d vector 𝐴 of 𝑑𝐴 wordt loodrecht op het
oppervlak met de oppervlakte 𝐴 of 𝑑𝐴 gekozen en is naar
buiten gericht op een gesloten oppervlak.
Wet van Gauss = De netto flux door een willekeurig gesloten oppervlak is gelijk
aan de netto lading 𝑄𝑖𝑛𝑔𝑒𝑠𝑙𝑜𝑡𝑒𝑛 die wordt omsloten door het oppervlak, gedeeld
𝑄
door 𝜀0 . → ∮ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝐴 = 𝑖𝑛𝑔𝑒𝑠𝑙𝑜𝑡𝑒𝑛 .
𝜀0
De wet van Gauss kan in principe worden gebruikt om het elektrisch veld als
gevolg v/e bepaalde ladingverdeling te berekenen, maar de bruikbaarheid is
voornamelijk beperkt tot een klein aantal gevallen, waarin de ladingverdeling
een zeker vorm van symmetrie vertoont. Het werkelijke belang v/d wet van
Gauss is dat deze een meer algemene en elegantere formulering is (dan de wet
van Coulomb) voor de relatie tussen elektrische lading en elektrisch veld. Het is
een basisvergelijking voor elektromagnetisme.
Opbouw v/d wet van Coulomb a.d.h.v. de wet van Gauss voor een puntlading:
- Beschouw een geïsoleerde puntlading 𝑄. Als gaussisch oppervlak kiezen we
een imaginaire bol met straal 𝑟, waarvan het middelpunt zich ter plaatse
v/d lading bevindt. Omdat de wet van Gauss geldig wordt verondersteld
voor elk willekeurig oppervlak, hebben we een oppervlak gekozen dat onze
berekening vereenvoudigt. Vanwege de symmetrie van
deze (imaginaire) bol om de lading in het middelpunt
ervan, weten we dat 𝐸⃗ dezelfde grootte moet hebben in elk
willekeurig punt v/h oppervlak en dat 𝐸⃗ radiaal naar
buiten (of naar binnen) is gericht, evenwijdig aan 𝑑𝐴, een
oppervlakte-element v/d bol. We kunnen de integraal in de
wet van Gauss dus schrijven als:
∮ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝐴 = ∮ 𝐸 𝑑𝐴 = 𝐸 ∮ 𝑑𝐴 = 𝐸(4𝜋𝑟 2 )
omdat 𝐸⃗ en 𝑑𝐴 beiden loodrecht op het oppervlak staan in elk punt v/h
oppervlak en omdat 𝑐𝑜𝑠𝜃 gelijk is aan 1. Bovendien is de grootte van 𝐸⃗
gelijk in alle punten van dit bolvormige oppervlak en is de oppervlakte v/e
bol met straal 𝑟 gelijk aan 4𝜋𝑟 2 .
- Doordat 𝑄𝑖𝑛𝑔𝑒𝑠𝑙𝑜𝑡𝑒𝑛 gelijk is aan 𝑄, wordt de wet van Gauss:
𝑄
= ∮ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝐴 = 𝐸(4𝜋𝑟 2 ).
𝜀0
1
, - Dat betekent dat 𝐸 gelijk is aan:
𝑄
𝐸= ,
4𝜋𝜀0 𝑟 2
wat overeenkomt met de versie v/h elektrisch veld volgens de wet van
Coulomb.
Opbouw v/d wet van Gauss a.d.h.v. de wet van Coulomb voor een puntlading in
een boloppervlak:
- Veronderstel 1 enkele puntlading 𝑄, omgeven door een imaginair,
bolvormig oppervlak. De wet van Coulomb vertelt ons dat het elektrisch
𝑄
veld op een bolvormig oppervlak gelijk is aan 𝐸 = 4𝜋𝜀 𝑟2 . Als we het
0
argument dat we zojuist gebruikten omkeren krijgen we dat:
𝑄 𝑄 𝑄
∮ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝐴 = ∮ 𝑑𝐴 = (4π𝑟 2)
=
4𝜋𝜀0 𝑟 2 4𝜋𝜀0 𝑟 2 𝜀0
𝑄
⇒ ∮ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝐴 = ,
𝜀0
wat de wet van Gauss is voor 𝑄𝑖𝑛𝑔𝑒𝑠𝑙𝑜𝑡𝑒𝑛 = 𝑄, afgeleid voor het speciale
geval v/e bolvormig oppervlak dat een puntlading ter plaatse v/h
middelpunt ervan omsluit.
Opbouw v/d wet van Gauss a.d.h.v. de wet van Coulomb voor een puntlading in
een boloppervlak:
- Beschouw een onregelmatig gevormd oppervlak 𝐴2 .
Door dit oppervlak gaat hetzelfde aantal veldlijnen
(als gevolg van lading 𝑄) als door het bolvormige
oppervlak 𝐴1 . Omdat de flux door een oppervlak
recht evenredig is met het aantal veldlijnen dat
erdoor gaat, is de flux door 𝐴2 gelijk aan die door 𝐴1 :
𝑄
∮ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝐴 = ∮ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝐴 = .
𝐴2 𝐴1 𝜀0
- Hieruit kan men afleiden dat voor elk willekeurig oppervlak dat 1
puntlading omsluit het volgende geldt:
𝑄
∮ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝐴 = .
𝜀0
- Wanneer er meerdere ladingen aanwezig zijn, hebben we dat voor elke
lading 𝑄𝑖 , omsloten door het gekozen oppervlak, geldt:
𝑄𝑖
∮ 𝐸⃗𝑖 ∙ 𝑑𝐴 = ,
𝜀0
waarin 𝐸𝑖 betrekking heeft op het elektrisch veld dat wordt geproduceerd
⃗
door de betreffende 𝑄𝑖 .
2
The benefits of buying summaries with Stuvia:
Guaranteed quality through customer reviews
Stuvia customers have reviewed more than 700,000 summaries. This how you know that you are buying the best documents.
Quick and easy check-out
You can quickly pay through credit card or Stuvia-credit for the summaries. There is no membership needed.
Focus on what matters
Your fellow students write the study notes themselves, which is why the documents are always reliable and up-to-date. This ensures you quickly get to the core!
Frequently asked questions
What do I get when I buy this document?
You get a PDF, available immediately after your purchase. The purchased document is accessible anytime, anywhere and indefinitely through your profile.
Satisfaction guarantee: how does it work?
Our satisfaction guarantee ensures that you always find a study document that suits you well. You fill out a form, and our customer service team takes care of the rest.
Who am I buying these notes from?
Stuvia is a marketplace, so you are not buying this document from us, but from seller vastgoedstudent123. Stuvia facilitates payment to the seller.
Will I be stuck with a subscription?
No, you only buy these notes for $4.78. You're not tied to anything after your purchase.
Can Stuvia be trusted?
4.6 stars on Google & Trustpilot (+1000 reviews)
56326 documents were sold in the last 30 days
Founded in 2010, the go-to place to buy study notes for 14 years now