Función de Distribución
Podemos definir la función de distribución F de una variable aleatoria X como una
función definida para cada número real x de la manera siguiente:
F ( x )=P ( X ≤ x ) para−∞< ×< ∞ . (R ¿ (1)
Donde P es la probabilidad, X la variable aleatoria y x el valor dado a la variable
aleatoria.
Debe subrayarse que la función de distribución viene dada de esta forma para toda
variable aleatoria X, independientemente de si la distribución de X es discreta, continua o
mixta. La abreviatura de función de distribución es f.d. Algunos autores utilizan el
término función de distribución acumulativa, en vez de función de distribución y hacen
uso de la abreviatura f.d.a.
De la ecuación (1) se deduce que la f.d. de una variable aleatoria X es una función
F definida sobre la recta real. El valor que posea F(x) para cualquier punto x debe
ser un número del intervalo 0 ≤ F (x )≤ 1 porque F(x) es la probabilidad del suceso
{ X ≤ x }. (DeGroot & Schervish, 1975/1988, pp 104)
Además, se obtiene de la ecuación (1) que la f.d. de cualquier variable aleatoria X debe
poseer las tres propiedades siguientes:
Propiedad 1. 0 ≤ F ( x ) ≤ 1
La probabilidad es un valor entre 0 y 1, ambos inclusive.
li m
Propiedad 2. x →+ ∞ F ( x )=1
❑
El máximo valor que puede tomar la función de distribución acumulada es 1.
, li m
Propiedad 3. x →−∞ F ( x ) =0
❑
El mínimo valor que puede tomar la función de distribución acumulada es 0.
Función de Distribución. (2023, Abril 9). Recuperado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Funci
%C3%B3n_de_distribuci%C3%B3n
Determinación de probabilidades a partir de la función de distribución
Si se conoce la f.d. de una variable aleatoria X, entonces se puede determinar la
probabilidad
de que X esté en cualquier intervalo de la recta real a partir de la f.d. Se deduce esta
probabilidad para cuatro tipos distintos de intervalos. (DeGroot & Schervish, 1975/1988,
pp 106)
Teorema 1. Para cualquier valor x,
P( X> x)=1−F(x ). (2)
Demostración.
La suma de todas las probabilidades es 1, es decir,
P( X ≤ x)+ P( X> x)=1
Por lo tanto, P( X> x)=1−P( X ≤ x )
Teorema 2. Para cualesquiera valores concretos x 1 y x 2 tales que x 1< x2 ,
P( x 1 < X ≤ x 2 )=F (x2 )−F (x 1). (3)
Demostración. P( x 1 < X ≤ x 2 )=P( X ≤ x2 )−P( X ≤ x 1). Por tanto, la ecuación (3)
se deduce directamente de la ecuación (1).
Teorema 3. Para cualquier valor x,
P( X< x)=F ¿ (4)
Demostración.
Podemos definir la función de distribución F de una variable aleatoria X como una
función definida para cada número real x de la manera siguiente:
F ( x )=P ( X ≤ x ) para−∞< ×< ∞ . (R ¿ (1)
Donde P es la probabilidad, X la variable aleatoria y x el valor dado a la variable
aleatoria.
Debe subrayarse que la función de distribución viene dada de esta forma para toda
variable aleatoria X, independientemente de si la distribución de X es discreta, continua o
mixta. La abreviatura de función de distribución es f.d. Algunos autores utilizan el
término función de distribución acumulativa, en vez de función de distribución y hacen
uso de la abreviatura f.d.a.
De la ecuación (1) se deduce que la f.d. de una variable aleatoria X es una función
F definida sobre la recta real. El valor que posea F(x) para cualquier punto x debe
ser un número del intervalo 0 ≤ F (x )≤ 1 porque F(x) es la probabilidad del suceso
{ X ≤ x }. (DeGroot & Schervish, 1975/1988, pp 104)
Además, se obtiene de la ecuación (1) que la f.d. de cualquier variable aleatoria X debe
poseer las tres propiedades siguientes:
Propiedad 1. 0 ≤ F ( x ) ≤ 1
La probabilidad es un valor entre 0 y 1, ambos inclusive.
li m
Propiedad 2. x →+ ∞ F ( x )=1
❑
El máximo valor que puede tomar la función de distribución acumulada es 1.
, li m
Propiedad 3. x →−∞ F ( x ) =0
❑
El mínimo valor que puede tomar la función de distribución acumulada es 0.
Función de Distribución. (2023, Abril 9). Recuperado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Funci
%C3%B3n_de_distribuci%C3%B3n
Determinación de probabilidades a partir de la función de distribución
Si se conoce la f.d. de una variable aleatoria X, entonces se puede determinar la
probabilidad
de que X esté en cualquier intervalo de la recta real a partir de la f.d. Se deduce esta
probabilidad para cuatro tipos distintos de intervalos. (DeGroot & Schervish, 1975/1988,
pp 106)
Teorema 1. Para cualquier valor x,
P( X> x)=1−F(x ). (2)
Demostración.
La suma de todas las probabilidades es 1, es decir,
P( X ≤ x)+ P( X> x)=1
Por lo tanto, P( X> x)=1−P( X ≤ x )
Teorema 2. Para cualesquiera valores concretos x 1 y x 2 tales que x 1< x2 ,
P( x 1 < X ≤ x 2 )=F (x2 )−F (x 1). (3)
Demostración. P( x 1 < X ≤ x 2 )=P( X ≤ x2 )−P( X ≤ x 1). Por tanto, la ecuación (3)
se deduce directamente de la ecuación (1).
Teorema 3. Para cualquier valor x,
P( X< x)=F ¿ (4)
Demostración.
