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Samenvatting

Komplette Abizusammenfassung Integralrechnung

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Abbildungen, Merkkästen, Beispielrechnungen, Herleitungen, Definitionen für die Integralrechnung in der Oberstufe

Voorbeeld 2 van de 7  pagina's

  • 25 januari 2024
  • 7
  • 2022/2023
  • Samenvatting
  • Middelbare school
  • Gymnasium
  • 1
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Integralrechnung
Streifenmethode
= Flächenberechnungsverfahren
· Ziel: Unterteilung Flächen in vertikale Streifen Eigenschaften Rechtecke:
Untere Abschätzung: unter der Kurve liegende Rechtecke - alle haben die gleiche Breite auf der x-Achse
Obere Abschätzung: über der Kurve hinausragende Rechtecke - Höhe: f(x ); Anzahl x je nach Einteilung
O O




Einschachtelung A durch Rechtecksstreifen ist nicht genau
·

Untersumme U4 =
A =
Obersumme O4
~
Op :

Einteilung in vier Rechtecke




3 Cispiel f(x) =x Un n =
4


Intervallende-Intervallanfang
U = (2) = Breite H




Breite [ )
...
=
alle Höhen


4 ( (2) (i)
30 14
= A =
O 12
=
= + + +
64 64
.




für ein
genaueres Ergebnis mehr & kleinere Streifen verwenden




allgemeine Form :
Intervall (0 : 1] in n Streifen : Breiten

Gaußsche
1()" i .
A (2) "+...+ ( * ) (f
Uni Oct lt( .. -In
:
1 n2.




/Summenformel On =
E +
+



2n - 1


+
1 = 4 .



6 .


n(n + 1) .



(2n + 1)
n2n 1 1 1
=. M
-
n +
2n +


n n
=
.. n
·




M



ein Un =
ein /f ... Zu( lim On =
him (8 .... In
n => 00 n >
-
00 M > 00
-



n +> 00

=
5 .

1 .

1 .

2 = E =
1 .

1 .
2 =


Fazit :
5 =
A = - =
A = E




I
Flächeninhaltsfunktion:
Null-Ursprung a
1

f(x)
M n +

=
ax A(X) =
n + 1 ·

X
·




Schnittpunkt X-Achse immer :
Ao (0) =
0

f(x) AX) f(x) Beginn Ursprung kein C Unterschied
negativ
+
Ao(x)
ist die
Ableitung nicht
·




von :
;
: =




Flächeninhaltsflt :




~ Randfunktion A-E g Ao(X) Ex jx2 Ao(X)
Y Flächeninhaltsfkt Ao f(x ist ein A mit h
Beginn Ursprung
.



x =
· ·


=
.
.




Tax
f(x) = f f(x) 8x2 =



Fläche kein Ao(0)
beginnt bei X = 0 und endet bei X C da O
·
·



,




f(x) -




·


Fläche Ao(x) entspricht Funktionswert Ao(X) ·




Schnittpkt x-Achse immer

Ao(X)
I > X , x Abex =
f(x) bei 1010) ; Ao(0) =
0
X




Stammfunktion Stamm flit :




= Jede differenzierbare Fkt F unter der Bedingung: Fix) f(x) =
F(x) + C


· Es gibt zu jeder Funktion f beliebig viele Stammfunktionen
· Menge aller Stammfunktionen von f = unbestimmtes Integral von f
unbestimmt = Ergebnis ist wegen der Integrationskonstanten C nicht eindeutig bestimmt
Differenzial
S
~




symbolische Schreibweise : f(x) dx
integrieren
Integral Variable f(X) ableiten/ differenzieren
F(X)


2
f(x) =
2x + 1 Beispiele :




Integrationskonstante
F(x) =
5 x + X + CiceN ((2x + 1)dx =
5x + x + C


Ja da = a

, Rechenregeln für unbestimmte Integrale




Integrieren von Trigonometrischen Funktionen/e-Funktion




Unterschied Integrationskonstante




Anfangswertproblem
= C soll so gewählt werden, das
Stammfunktion F durch einen fest
vorgeschrieben Punkt geht

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