Meten en meetkunde
Hoofdstuk 1
1.1 Raakvlakken en verschillen tussen meten en meetkunde
Bij meten gaat het om het getalsmatg greep krijgen op ‘eigenschappen’ van de wereld, zoals
lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht en tjdsduurr Dergelijke eigenschappen heten
groothedenr De essente van meten is dat een grootheid wordt afgepast met een maatr Een
metng levert een meetgetal opr Voor het meten kunnen allerlei meetnstrumenten worden
gebruiktr
Bij meetkunde draait het om het verklaren en beschrijven van de ons omringende ruimter
Het gaat bijvoorbeeld om plategronden, routes, richtngen en eigenschappen van vormen
en fgurenr Verder gaat het om projectes, schaduwen, ssmmetrieën, patronen en om allerlei
2D en 3D weergaven van de werkelijkheidr
1.1.1 Meten van inhoud
Het in gedachten zeten van een bouwplaat zoals een doos, valt onder meetkunder De vraag,
wat de inhoud van die doos is valt onder meten: het gaat om het kwantfceren van de
eigenschap inhoudr Een kwantiteit is een hoeveelheid en kwantificeren betekent ergens een
getal aan toekennenr In situates waarin leerlingen ervaren dat een bepaalde inhoud
verschillende vormen kan aannemen, raken meten en meetkunde elkaarr Een rijke vorm
voor actviteiten vormt de verpakkingsindustrie, waar een bepaalde hoeveelheid product
meestal in een zo compact mogelijke verpakking wordt aangebodenr
1.1.2 Lengte en oppervlakte
Ook bij de grootheden lengte en oppervlakte komen meetkundige inzichten naar vorenr
Kinderen kunnen zich er bijvoorbeeld van bewust worden dat een oppervlakte van 1
vierkante cm verschillende (meetkundige) vormen in een plat vlak kan hebbenr Een
meetkundige actviteit als het omvormen van fguren kan worden toegepast bij het meten
van oppervlaktesr Ook het werken van vlakvullingen ligt op het snijvlak van meten en
meetkunde: een bepaalde oppervlakte wordt vol gelegd met meetkundige vormenr
1.1.3 Uit de geschiedenis van meten en meetkunde
In de stelling van Psthagoras uit de klassieke oudheid komen meten en meetkunde samenr
Deze stelling beschrijf de vaste relate tussen de lengtes van de 3 zijden van een
rechthoekige driehoek: a2 + b2 = c2r Het inzicht dat het kwadraat van een getal voorgesteld
kan worden als de oppervlakte van een vierkant, is nodig om de relate tussen getallen en
meetkunde te begrijpenr
De gulden snede is een verhouding die sinds de 17e eeuw staat voor een schoonheidsideaal:
de mooiste verhouding die bestaatr Ook hierin gaat het om meten en meetkunde: in allerlei
meetkundige fguren zijn afmetngen volgens deze verhouding terug te vindenr Als je een
lijnstuk zo in 2en verdeelt dat de verhouding van het kleinste deel trorvr het grootste deel
dezelfde is als de verhouding van het grootste deel tot het hele lijnstuk, heb je de gulden
snede te pakkenr Een veelgebruikte benadering van de gulden snede is 0r618r Het precieze
verhoudingsgetal heef een oneindig aantal decimalen en wordt aangeduid met (phi)r
,1.2.1 Overeenkomsten tussen meten en meetkunde
Een overeenkomst tussen meten en meetkunde zijn de wiskundige begrippen die worden
gebruikt, zoals hoog/laag, groot/klein en richtngen als noord en zuidr Ook worden ze
gekenmerkt door redeneren en het ontwikkelen van een onderzoekende houding:
wiskundige attuder Bezig zijn met meten en meetkunde levert ook een belangrijke bijdrage
aan de ontwikkeling van gecijferdheidr Wie gecijferd is, beschikt orar over een groot aantal
referentes in het dagelijks leven (vaak meetgetallen)r
1.2.2 Verschillen tussen meten en meetkunde
Bij meten gaat het meestal om andere (mentale) handelingen dan bij een passende maat en
zijn kinderen vooral aan het doen, kennen en begrijpenr Bij meetkundeactviteiten gaat het
vooral om het onderzoeken van ruimtelijke relates en het beredeneren hiervan; kinderen
zijn bezig met waarnemen, beschouwen, stellen en beantwoorden van de waaromvraag,
gericht op verklarenr
1.2.3 Samenhang in activiteiten
Het heef meerwaarde om meten en meetkunde genntegreerd aan bod te laten komenr Ook
in reken-wiskundemethodes is die samenhang regelmatg herkenbaarr Actviteiten rondom
construeren en representeren vallen binnen meetkunder Rondom een bouwwerk kan het
tegelijkertjd gaan om meetactviteitenr Andere actviteiten waarin meten en meetkunde
beide aan bod komen, liggen op het gebied van plategronden, landkaarten en routesr
Andere actviteiten liggen op het terrein van tjdzones: lokaliseren of plaatsbepalingr
Meten en meetkunde
Hoofdstuk 2
2.1 Meten en meetgetallen zijn overal
Meetgetallen zeggen iets over grootheden als gewicht, inhoud, temperatuur en snelheidr Bij
elke grootheid bestaan verschillende maten of maateenheden, die afankelijk van de
situate worden gebruiktr iijdstppen en bedragen zijn ook meetgetallenr In het dagelijks
leven gebruik je veel meetreferentes, zoals: 50 km/u is de maximumsnelheid binnen de
bebouwde komr Een referentiegetal is bijvoorbeeld 365: ook zonder de maat denk je
waarschijnlijk aan het aantal dagen in een jaarr
2.1.1 Meetinstrumenten
Bij sommige meetnstrumenten is het afpassen van een maat goed zichtbaar (een
maatbeker)r Andere meetnstrumenten liggen in het verlengde van afpassen met een maat:
zo is een rolmaat te zien als een aaneenschakeling van metersr Bij andere meetnstrumenten
is het afpassen verder naar de achtergrond verdwenen (digitale weegschaal), waarbij de
werking van het meetnstrument zelf vaak niet zichtbaar is en je direct het meetresultaat
afleestr Met een unster (weeghaak met trekveer) wordt het gewicht van een voorwerp
zichtbaar in de uitrekking van de veerr Dit is in feite een lengtemeting: een groter gewicht
levert een grotere uitrekking opr Omdat je de ene grootheid meet om een andere grootheid
te bepalen, wordt dit indirect meten genoemdr
, 2.1.2 Meetnauwkeurigheid
Veel meetgetallen zijn kommagetallenr iemperatuur wordt bij de weersverwachtng meestal
als heel getal gegeven (19 graden bijvoorbeeld), maar bij lichaamstemperatuur als
kommagetal (38,2 graden bijvoorbeeld)r Bij beide metngen is de maat in graden Celsius,
maar alleen bij de lichaamstemperatuur is het meetresultaat tot op een 10 e graad
nauwkeurigr Het meetresultaat bij de lichaamstemperatuur ligt tussen de 38,15 en 38,25r
Zo’n afstand tussen 2 getallen heet een meetintervalr
De meetnauwkeurigheid van metngen impliceert ook een meetonnauwkeurigheidr In die zin
treden bij metngen per defnite meetouten opr De meetout valt binnen het meetnterval,
dat in dit verband wordt aangeduid als foutenmarger Meetouten kunnen ontstaan bij de
meethandeling zelfr Om het efect van een meetout te verkleinen, kan je een metng
herhaald uitvoeren, en hier het gemiddelde van nemenr
2.1.3 Uit de geschiedenis van meten
Een natuurlijke maat is bijvoorbeeld een lichaamsdeel waarmee een grootheid kan worden
afgepastr Het meten met een natuurlijke maat volstaat als de metng niet heel nauwkeurig
hoef worden uitgevoerdr Er zijn enkele oude lengtematen die zijn afgeleid van het lichaam:
Maat Lichaamsdeel Lengte Onderlinge relate
Duim Breedte van je duim 2r5cm ¼ palm
Palm Breedte van je handpalm 10cm 4 duim
Handspa Afstand tussen de punt van je pink en de 20cm 8 duim, 2 palm
n punt van je duim bij gestrekte vingers
Voet Lengte van je voet 30cm 12 duim, 3 palm
El Lengte van je gestrekte arm, van de punt 70cm
van je wijsvinger tot aan je oksel
Vadem Afstand tussen je rechter- en linkerhand 180cm 6 voet
bij zijwaarts gestrekte armen
In het verleden werden maten ook afgeleid van wat mensen redelijkerwijs konden
presteren: dagmars en uren gaans werden voor afstanden gebruiktr De morgen werd
gebruikt voor de hoeveelheid land die op een ochtend geploegd kon wordenr
Kort na de Franse Revolute werd een stelsel van maten en gewichten vastgesteld in het
metriek stelselr De meter is daarin als standaardmaat gekozenr De liter werd gelijkgesteld
aan een kubieke decimeter, de are aan een vierkante decimeter en de bunder aan een
vierkante hectometer (hectare)r De pond werd 500 gram en een ons 100r Aanvankelijk was
de meter gekozen als het 1/40 000 000 deel van de omtrek van de aarder Sinds 1983 is het
de afstand die het licht in het 1/299 793 458 deel van een seconde in vacuüm aflegtr De
huidige internatonale afspraken voor een groot aantal grootheden en eenheden liggen vast
in het in 1960 opgestelde SI-stelsel (Internatonaal stelsel van Eenheden)r
Hoofdstuk 1
1.1 Raakvlakken en verschillen tussen meten en meetkunde
Bij meten gaat het om het getalsmatg greep krijgen op ‘eigenschappen’ van de wereld, zoals
lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht en tjdsduurr Dergelijke eigenschappen heten
groothedenr De essente van meten is dat een grootheid wordt afgepast met een maatr Een
metng levert een meetgetal opr Voor het meten kunnen allerlei meetnstrumenten worden
gebruiktr
Bij meetkunde draait het om het verklaren en beschrijven van de ons omringende ruimter
Het gaat bijvoorbeeld om plategronden, routes, richtngen en eigenschappen van vormen
en fgurenr Verder gaat het om projectes, schaduwen, ssmmetrieën, patronen en om allerlei
2D en 3D weergaven van de werkelijkheidr
1.1.1 Meten van inhoud
Het in gedachten zeten van een bouwplaat zoals een doos, valt onder meetkunder De vraag,
wat de inhoud van die doos is valt onder meten: het gaat om het kwantfceren van de
eigenschap inhoudr Een kwantiteit is een hoeveelheid en kwantificeren betekent ergens een
getal aan toekennenr In situates waarin leerlingen ervaren dat een bepaalde inhoud
verschillende vormen kan aannemen, raken meten en meetkunde elkaarr Een rijke vorm
voor actviteiten vormt de verpakkingsindustrie, waar een bepaalde hoeveelheid product
meestal in een zo compact mogelijke verpakking wordt aangebodenr
1.1.2 Lengte en oppervlakte
Ook bij de grootheden lengte en oppervlakte komen meetkundige inzichten naar vorenr
Kinderen kunnen zich er bijvoorbeeld van bewust worden dat een oppervlakte van 1
vierkante cm verschillende (meetkundige) vormen in een plat vlak kan hebbenr Een
meetkundige actviteit als het omvormen van fguren kan worden toegepast bij het meten
van oppervlaktesr Ook het werken van vlakvullingen ligt op het snijvlak van meten en
meetkunde: een bepaalde oppervlakte wordt vol gelegd met meetkundige vormenr
1.1.3 Uit de geschiedenis van meten en meetkunde
In de stelling van Psthagoras uit de klassieke oudheid komen meten en meetkunde samenr
Deze stelling beschrijf de vaste relate tussen de lengtes van de 3 zijden van een
rechthoekige driehoek: a2 + b2 = c2r Het inzicht dat het kwadraat van een getal voorgesteld
kan worden als de oppervlakte van een vierkant, is nodig om de relate tussen getallen en
meetkunde te begrijpenr
De gulden snede is een verhouding die sinds de 17e eeuw staat voor een schoonheidsideaal:
de mooiste verhouding die bestaatr Ook hierin gaat het om meten en meetkunde: in allerlei
meetkundige fguren zijn afmetngen volgens deze verhouding terug te vindenr Als je een
lijnstuk zo in 2en verdeelt dat de verhouding van het kleinste deel trorvr het grootste deel
dezelfde is als de verhouding van het grootste deel tot het hele lijnstuk, heb je de gulden
snede te pakkenr Een veelgebruikte benadering van de gulden snede is 0r618r Het precieze
verhoudingsgetal heef een oneindig aantal decimalen en wordt aangeduid met (phi)r
,1.2.1 Overeenkomsten tussen meten en meetkunde
Een overeenkomst tussen meten en meetkunde zijn de wiskundige begrippen die worden
gebruikt, zoals hoog/laag, groot/klein en richtngen als noord en zuidr Ook worden ze
gekenmerkt door redeneren en het ontwikkelen van een onderzoekende houding:
wiskundige attuder Bezig zijn met meten en meetkunde levert ook een belangrijke bijdrage
aan de ontwikkeling van gecijferdheidr Wie gecijferd is, beschikt orar over een groot aantal
referentes in het dagelijks leven (vaak meetgetallen)r
1.2.2 Verschillen tussen meten en meetkunde
Bij meten gaat het meestal om andere (mentale) handelingen dan bij een passende maat en
zijn kinderen vooral aan het doen, kennen en begrijpenr Bij meetkundeactviteiten gaat het
vooral om het onderzoeken van ruimtelijke relates en het beredeneren hiervan; kinderen
zijn bezig met waarnemen, beschouwen, stellen en beantwoorden van de waaromvraag,
gericht op verklarenr
1.2.3 Samenhang in activiteiten
Het heef meerwaarde om meten en meetkunde genntegreerd aan bod te laten komenr Ook
in reken-wiskundemethodes is die samenhang regelmatg herkenbaarr Actviteiten rondom
construeren en representeren vallen binnen meetkunder Rondom een bouwwerk kan het
tegelijkertjd gaan om meetactviteitenr Andere actviteiten waarin meten en meetkunde
beide aan bod komen, liggen op het gebied van plategronden, landkaarten en routesr
Andere actviteiten liggen op het terrein van tjdzones: lokaliseren of plaatsbepalingr
Meten en meetkunde
Hoofdstuk 2
2.1 Meten en meetgetallen zijn overal
Meetgetallen zeggen iets over grootheden als gewicht, inhoud, temperatuur en snelheidr Bij
elke grootheid bestaan verschillende maten of maateenheden, die afankelijk van de
situate worden gebruiktr iijdstppen en bedragen zijn ook meetgetallenr In het dagelijks
leven gebruik je veel meetreferentes, zoals: 50 km/u is de maximumsnelheid binnen de
bebouwde komr Een referentiegetal is bijvoorbeeld 365: ook zonder de maat denk je
waarschijnlijk aan het aantal dagen in een jaarr
2.1.1 Meetinstrumenten
Bij sommige meetnstrumenten is het afpassen van een maat goed zichtbaar (een
maatbeker)r Andere meetnstrumenten liggen in het verlengde van afpassen met een maat:
zo is een rolmaat te zien als een aaneenschakeling van metersr Bij andere meetnstrumenten
is het afpassen verder naar de achtergrond verdwenen (digitale weegschaal), waarbij de
werking van het meetnstrument zelf vaak niet zichtbaar is en je direct het meetresultaat
afleestr Met een unster (weeghaak met trekveer) wordt het gewicht van een voorwerp
zichtbaar in de uitrekking van de veerr Dit is in feite een lengtemeting: een groter gewicht
levert een grotere uitrekking opr Omdat je de ene grootheid meet om een andere grootheid
te bepalen, wordt dit indirect meten genoemdr
, 2.1.2 Meetnauwkeurigheid
Veel meetgetallen zijn kommagetallenr iemperatuur wordt bij de weersverwachtng meestal
als heel getal gegeven (19 graden bijvoorbeeld), maar bij lichaamstemperatuur als
kommagetal (38,2 graden bijvoorbeeld)r Bij beide metngen is de maat in graden Celsius,
maar alleen bij de lichaamstemperatuur is het meetresultaat tot op een 10 e graad
nauwkeurigr Het meetresultaat bij de lichaamstemperatuur ligt tussen de 38,15 en 38,25r
Zo’n afstand tussen 2 getallen heet een meetintervalr
De meetnauwkeurigheid van metngen impliceert ook een meetonnauwkeurigheidr In die zin
treden bij metngen per defnite meetouten opr De meetout valt binnen het meetnterval,
dat in dit verband wordt aangeduid als foutenmarger Meetouten kunnen ontstaan bij de
meethandeling zelfr Om het efect van een meetout te verkleinen, kan je een metng
herhaald uitvoeren, en hier het gemiddelde van nemenr
2.1.3 Uit de geschiedenis van meten
Een natuurlijke maat is bijvoorbeeld een lichaamsdeel waarmee een grootheid kan worden
afgepastr Het meten met een natuurlijke maat volstaat als de metng niet heel nauwkeurig
hoef worden uitgevoerdr Er zijn enkele oude lengtematen die zijn afgeleid van het lichaam:
Maat Lichaamsdeel Lengte Onderlinge relate
Duim Breedte van je duim 2r5cm ¼ palm
Palm Breedte van je handpalm 10cm 4 duim
Handspa Afstand tussen de punt van je pink en de 20cm 8 duim, 2 palm
n punt van je duim bij gestrekte vingers
Voet Lengte van je voet 30cm 12 duim, 3 palm
El Lengte van je gestrekte arm, van de punt 70cm
van je wijsvinger tot aan je oksel
Vadem Afstand tussen je rechter- en linkerhand 180cm 6 voet
bij zijwaarts gestrekte armen
In het verleden werden maten ook afgeleid van wat mensen redelijkerwijs konden
presteren: dagmars en uren gaans werden voor afstanden gebruiktr De morgen werd
gebruikt voor de hoeveelheid land die op een ochtend geploegd kon wordenr
Kort na de Franse Revolute werd een stelsel van maten en gewichten vastgesteld in het
metriek stelselr De meter is daarin als standaardmaat gekozenr De liter werd gelijkgesteld
aan een kubieke decimeter, de are aan een vierkante decimeter en de bunder aan een
vierkante hectometer (hectare)r De pond werd 500 gram en een ons 100r Aanvankelijk was
de meter gekozen als het 1/40 000 000 deel van de omtrek van de aarder Sinds 1983 is het
de afstand die het licht in het 1/299 793 458 deel van een seconde in vacuüm aflegtr De
huidige internatonale afspraken voor een groot aantal grootheden en eenheden liggen vast
in het in 1960 opgestelde SI-stelsel (Internatonaal stelsel van Eenheden)r
