Exercice 1.
Factoriser dans [ ] et dans [ ] le polynôme
Allez à : Correction exercice 1
Exercice 2.
Soit
Factoriser dans [ ], puis dans [ ] et enfin dans [ ]
Allez à : Correction exercice 2
Exercice 3.
Soit ( ) . On note
1. Montrer que
2. Montrer que est une racine multiple de .
3. Trouver deux racines réelles évidentes de .
4. Factoriser en facteurs irréductibles dans [ ] et puis dans [ ].
Allez à : Correction exercice 3
Exercice 4.
Déterminer les racines réelles et complexes du polynôme :
( )
En déduire sa factorisation dans [ ] et dans [ ].
Allez à : Correction exercice 4
Exercice 5.
Soit
1. Factoriser dans [ ].
2. Factoriser dans [ ].
3. Factoriser dans [ ].
Allez à : Correction exercice 5
Exercice 6.
Déterminer les racines réelles et complexes du polynôme :
( )
En déduire sa factorisation dans [ ] et dans [ ].
Allez à : Correction exercice 6
Exercice 7.
Soit [ ] défini par
1. Déterminer les racines de .
2. Factoriser dans [ ], puis dans [ ].
Allez à : Correction exercice 7
1
,Polynômes et fractions rationnelles Pascal Lainé
Exercice 8.
1. Soit un polynôme.
Factoriser ce polynôme dans [ ] et dans [ ].
2. Soit
( ) ∑( )
Déterminer les racines réelles et complexes de .
Allez à : Correction exercice 8
Exercice 9.
Soit
On pose
1. Montrer que est une racine multiple de .
2. Factoriser dans [ ].
3. Factoriser dans [ ].
Allez à : Correction exercice 9
Exercice 10.
Soit [ ] défini par
1. Montrer que est une racine multiple de .
2. En remarquant que est un polynôme pair, donner toutes les racines de ainsi que leur multiplicité.
3. Factoriser dans [ ], puis dans [ ].
Allez à : Correction exercice 10
Exercice 11.
Soit
1. Montrer que est une racine double de
2. Factoriser dans [ ]
Allez à : Correction exercice 11
Exercice 12.
1. Déterminer les racines réelles et complexes de ( )
2. Soit et soit [ ] défini par
( )
Déterminer pour que admette une racine réelle multiple.
Allez à : Correction exercice 12
Exercice 13.
1. Le polynôme , est-il irréductible dans [ ] ?
2. Le polynôme , est-il irréductible dans [ ] ?
Allez à : Correction exercice 13
Exercice 14.
Déterminer les réels , et tels que soit factorisable par
( )( )
Allez à : Correction exercice 14
2
,Polynômes et fractions rationnelles Pascal Lainé
Exercice 15.
Pour , montrer que le polynôme ( ) est divisible par
Allez à : Correction exercice 15
Exercice 16.
Soit
( )
On pose [ ] avec
Pour quelles valeurs de , est-il racine de ?
On pourra discuter selon les valeurs de .
Allez à : Correction exercice 16
Exercice 17.
Déterminer le reste de la division euclidienne de ( ) par .
Allez à : Correction exercice 17
Exercice 18.
Quel est le reste de la division euclidienne de par ( ) ?
Allez à : Correction exercice 18
Exercice 19.
Soit [ ] le reste de la division euclidienne de ( ) par ( ) .
Déterminer .
Allez à : Correction exercice 19
Exercice 20.
Quel est le reste de la division euclidienne de par ( ) , pour , .
Allez à : Correction exercice 20
Exercice 21.
Déterminer le reste dans la division euclidienne de par
Allez à : Correction exercice 21
Exercice 22.
1. Montrer que pour tout , est divisible par .
2. En déduire que le polynôme avec , , et entiers naturels est
divisible par .
Allez à : Correction exercice 22
Exercice 23.
Soit un polynôme de [ ], on note , et ses racines.
1. Calculer .
2. Calculer .
3. Calculer .
4. On pose
Calculer en fonction de .
Allez à : Correction exercice 23
3
, Polynômes et fractions rationnelles Pascal Lainé
Exercice 24.
Soit [ ] un polynôme tel que ( ) ( ) ( )
1. Montrer que et sont racines de .
2. Soit une racine de . Si , montrer que est racine. Si , montrer que est racine.
3. On suppose que n’est pas le polynôme nul. Montrer que et sont les seules racines de .
Indication :
S’il existe une racine telle que ( ) différente de 0 ( ), montrer qu’il y a une infinité de
racines.
S’il existe une racine telle que ( ) différente de 1 ( ), montrer qu’il y a une infinité de
racines.
4. En déduire que est de la forme ( ) avec [ ], et .
5. Quel est l’ensemble des polynômes de [ ] tels que ( ) ( ) ( ).
Allez à : Correction exercice 24
Exercice 25.
Effectuer la division suivante les puissances croissantes de par à l’ordre .
Allez à : Correction exercice 25
Exercice 26.
On considère le couple de polynôme à coefficients réels
1. Utiliser l’algorithme d’Euclide pour calculer le ( ).
2. Décomposer et en facteurs irréductibles dans [ ].
3. Retrouvez le résultat de la question 1.
4. Décomposer en facteur irréductible dans [ ].
Allez à : Correction exercice 26
Exercice 27.
Soient et
Déterminer le de et et en déduire les racines communes de et .
Allez à : Correction exercice 27
Exercice 28.
Déterminer une identité de Bézout entre les polynômes ( ) et .
Allez à : Correction exercice 28
Exercice 29.
1. Déterminer une identité de Bézout entre les polynômes
2. En déduire les racines communes de et .
Allez à : Correction exercice 29
Exercice 30.
Soit
1. Calculer le PGCD de et .
2. Quelles sont les racines communes à et ?
Quelles sont les racines multiples de dans ?
3. Montrer que ( ) divise .
4. Factoriser dans [ ].
4
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